a)[tex3]\frac{7}{81}[/tex3]
b)[tex3]\frac{8}{81}[/tex3]
c)[tex3]\frac{9}{81}[/tex3]
d)[tex3]\frac{10}{81}[/tex3]
e)[tex3]\frac{11}{81}[/tex3]
Resposta
e
IME / ITA ⇒ (Simulado-Ime/Ita) Equação Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2021
08
19:04
(Simulado-Ime/Ita) Equação
Considere todos os pontos (b;c) de inteiros tais que |b|[tex3]\leq [/tex3]
4 e |c|[tex3]\leq 4[/tex3]
. Escolhendo-se, ao acaso, um desses pares (b;c). Então a probabilidade da equação x²+2bx+c=0 possuir raízes distintas e positivas é igual a:
a)[tex3]\frac{7}{81}[/tex3]
b)[tex3]\frac{8}{81}[/tex3]
c)[tex3]\frac{9}{81}[/tex3]
d)[tex3]\frac{10}{81}[/tex3]
e)[tex3]\frac{11}{81}[/tex3]
e
a)[tex3]\frac{7}{81}[/tex3]
b)[tex3]\frac{8}{81}[/tex3]
c)[tex3]\frac{9}{81}[/tex3]
d)[tex3]\frac{10}{81}[/tex3]
e)[tex3]\frac{11}{81}[/tex3]
e
-
joaopcarv
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Jun 2021
09
11:33
Re: (Simulado-Ime/Ita) Equação
[tex3]\mathsf{b,c \ \in \ \mathbb{Z} \ | \ |b|, |c| \ \leq \ 4 \ \rightarrow \ b,c \ = [-4,4].}[/tex3]
Temos [tex3]\mathsf{9}[/tex3] possibilidades para [tex3]\mathsf{b}[/tex3] e também para [tex3]\mathsf{c}[/tex3] , portanto a quantidade de pares ordenados [tex3]\mathsf{(b,c)}[/tex3] totais que podemos fazer com esses números é [tex3]\mathsf{T \ = \ 9\ \cdot \ 9 \ = \ 81.}[/tex3]
Da equação [tex3]\mathsf{x^2 \ + \ 2 \cdot b \cdot x \ + \ c \ = \ 0}[/tex3] , então:
[tex3]\mathsf{x_{(1,2)} \ = \ \dfrac{-2\cdot b \ \pm \ \sqrt{\Delta}}{2\cdot \ 1}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{x_{(1,2)} \ = \ \ -b \ \pm \ \sqrt{(b^2 \ - \ c)}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{b^2 \ > \ c}[/tex3] (condição das raízes serem reais).
[tex3]\mathsf{-b \ \pm \ \sqrt{(b^2 \ - \ c)} \ > \ 0}[/tex3] (condição das raízes serem positivas).
De imediato, soluções do tipo [tex3]\mathsf{(b,0)}[/tex3] e [tex3]\mathsf{(0,c)}[/tex3] são descartadas.
Como os algarismos do espaço amostral são poucos, vamos listar os casos, começando por [tex3]\mathsf{b\ \ < \ 0:}[/tex3]
Temos então [tex3]\mathsf{11}[/tex3] pares ordenados apenas:
Temos [tex3]\mathsf{9}[/tex3] possibilidades para [tex3]\mathsf{b}[/tex3] e também para [tex3]\mathsf{c}[/tex3] , portanto a quantidade de pares ordenados [tex3]\mathsf{(b,c)}[/tex3] totais que podemos fazer com esses números é [tex3]\mathsf{T \ = \ 9\ \cdot \ 9 \ = \ 81.}[/tex3]
Da equação [tex3]\mathsf{x^2 \ + \ 2 \cdot b \cdot x \ + \ c \ = \ 0}[/tex3] , então:
[tex3]\mathsf{x_{(1,2)} \ = \ \dfrac{-2\cdot b \ \pm \ \sqrt{\Delta}}{2\cdot \ 1}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{x_{(1,2)} \ = \ \ -b \ \pm \ \sqrt{(b^2 \ - \ c)}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{b^2 \ > \ c}[/tex3] (condição das raízes serem reais).
[tex3]\mathsf{-b \ \pm \ \sqrt{(b^2 \ - \ c)} \ > \ 0}[/tex3] (condição das raízes serem positivas).
De imediato, soluções do tipo [tex3]\mathsf{(b,0)}[/tex3] e [tex3]\mathsf{(0,c)}[/tex3] são descartadas.
Como os algarismos do espaço amostral são poucos, vamos listar os casos, começando por [tex3]\mathsf{b\ \ < \ 0:}[/tex3]
- [tex3]\mathsf{\bullet \ (b\ \ = \ -1):\ 1 \ \pm \ \sqrt{(1-c)}\ \ \ > \ 0 \ \hookrightarrow}[/tex3]
Perceba que [tex3]\mathsf{c}[/tex3]
só poderia ser negativo, mas, devido à parcela [tex3]\mathsf{z = \sqrt{(1-c)}, \ z =\{\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}\} \ > \ 1}[/tex3]
ou seja, teremos uma solução positiva [tex3]\mathsf{1 \ + \ z}[/tex3]
e uma negativa [tex3]\mathsf{1 \ - \ z}[/tex3]
, o que não nos serve;
[tex3]\\ \\ \mathsf{\bullet \ (b\ \ = \ -2):\ 2 \ \pm \ \sqrt{(4-c)}\ \ \ > \ 0 \ \hookrightarrow}[/tex3] Valores negativos de [tex3]\mathsf{c}[/tex3] não nos servem, porque [tex3]\mathsf{\sqrt{4-c}, \ c< \ 0}[/tex3] excede [tex3]\mathsf{2}.[/tex3] Sobra então [tex3]\mathsf{c \ = \ \{1,2,3\}}[/tex3] , que nos serve (raízes reais, positivas e distintas);
[tex3]\\ \\ \mathsf{\bullet \ (b\ \ = \ -3):\ 3 \ \pm \ \sqrt{(9-c)}\ \ \ > \ 0 \ \hookrightarrow}[/tex3] Quaisquer dos valores positivos servem: [tex3]\mathsf{c \ = \ \{1,2,3,4\};}[/tex3]
[tex3]\\ \\ \mathsf{\bullet \ (b\ \ = \ -4):\ 4 \ \pm \ \sqrt{(16-c)}\ \ \ > \ 0 \ \hookrightarrow}[/tex3] Mais uma vez, teremos [tex3]\mathsf{c \ = \ \{1,2,3,4\}.}[/tex3]
Temos então [tex3]\mathsf{11}[/tex3] pares ordenados apenas:
- [tex3]\mathsf{\bullet \ (-2, \ c), \ c \ = \ \{1,2,3\};}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\\ \\ \bullet \ (-3, \ c), \ c \ = \ \{1,2,3,4\};}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\\ \\ \bullet \ (-4, \ c), \ c \ = \ \{1,2,3,4\}.}[/tex3]
Editado pela última vez por joaopcarv em 26 Jul 2021, 05:04, em um total de 2 vezes.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
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