IME / ITA ⇒ ITA Circunferência com reta tangente Tópico resolvido

[DarkKnight]

Num triângulo PQR, considere os pontos M e N pertencentes aos lados PQ e PR, respectivamente, tais que o segmento MN seja tangente à circunferência inscrita ao triângulo PQR.Sabendo-se que o perímetro do triângulo PQR é 25 e que a medida de QR é 10, então o perímetro do triângulo PMN é igual a :

Resposta

---

A resposta é 5 mas,eu não entendi como pode ser esse valor.Não teria de ser um valor menor que cinco pois,ainda se tem os lados MA E NB ...

[jvmago]

Façamos uma primeira suposição que o [tex3]\Delta PQR[/tex3]

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[tex3]\Delta PQR[/tex3]

seja isósceles de base [tex3]QR[/tex3]

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[tex3]QR[/tex3]

temos então que [tex3]C[/tex3]

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[tex3]C[/tex3]

é ponto médio de [tex3]QR[/tex3]

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[tex3]QR[/tex3]

e [tex3]QC=RC=QA=RB=5[/tex3]

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[tex3]QC=RC=QA=RB=5[/tex3]

Se [tex3]\Delta PQR[/tex3]

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[tex3]\Delta PQR[/tex3]

é isósceles então [tex3]QP=RP=7,5[/tex3]

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[tex3]QP=RP=7,5[/tex3]

.

Se [tex3]QP=RP=7,5[/tex3]

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[tex3]QP=RP=7,5[/tex3]

e [tex3]QC=RC=QA=RB=5[/tex3]

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[tex3]QC=RC=QA=RB=5[/tex3]

então [tex3]AP=BP=2,5[/tex3]

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[tex3]AP=BP=2,5[/tex3]

.

O perímetro do [tex3]\Delta PQR[/tex3]

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[tex3]\Delta PQR[/tex3]

é [tex3]2p=PM+DM+DN+PN[/tex3]

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[tex3]2p=PM+DM+DN+PN[/tex3]

porém, [tex3]MD=AM[/tex3]

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[tex3]MD=AM[/tex3]

e [tex3]DN=NB[/tex3]

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[tex3]DN=NB[/tex3]

substituindo na formula teremos:
[tex3]2p=PM+DM+DN+PN[/tex3]

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[tex3]2p=PM+DM+DN+PN[/tex3]

[tex3]2p=PM+AM+NB+PN[/tex3]

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[tex3]2p=PM+AM+NB+PN[/tex3]

e isso é genial pois [tex3]PA=PM+MA=2,5[/tex3]

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[tex3]PA=PM+MA=2,5[/tex3]

e [tex3]PB=PN+NB=2,5[/tex3]

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[tex3]PB=PN+NB=2,5[/tex3]

logo

[tex3]2p=PM+PB=2,5+2,5=5[/tex3]

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[tex3]2p=PM+PB=2,5+2,5=5[/tex3]

[MatheusBorges]

jvmago, já te disse que não se pode fazer isso. A é isósceles por que quero. Falou tem que provar. Fizer isso em prova aberta já era, perde a questão mesmo sabendo o conteúdo.
Façamos [tex3]\overline{QC}=x=\overline{QA}\\
\overline{CR}=y=\overline{BR}\\
\overline{AM}=\overline{MD}=z\\
\overline{DN}=\overline{NB}=t\\
\overline{MP}=n\\
\overline{PN}=m\\
\overline{QR}=x+y\\
2.(x+y)=20\\
z+n+m+t=5[/tex3]

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[tex3]\overline{QC}=x=\overline{QA}\\
\overline{CR}=y=\overline{BR}\\
\overline{AM}=\overline{MD}=z\\
\overline{DN}=\overline{NB}=t\\
\overline{MP}=n\\
\overline{PN}=m\\
\overline{QR}=x+y\\
2.(x+y)=20\\
z+n+m+t=5[/tex3]

Ora mas isso é o perímetro do triângulos PMN!
Só foi usado a ideia de segmentos tangentes a circunferência

[jvmago]

MafIl10, Saiu até mais elegante a sua no caso.

[Papiro8814]

Vou resolver de uma forma bem tranquila...
1 - Existe uma relação que é meio secundária, mas ela poderia ter lhe ajudado muito
p - a = x
o semiperímetro menos o lado oposto é igual ao segmento tangente
Não irei fazer a demonstração, mas recomendo que pesquise um pouco sobre
2 - substituir
25/2 - 10 = x (olhe para o desenho do nosso camarada DarkKnight)
12,5 - 10 = x
x = 2,5
3 - só responder
o perímetro é sempre o dobro...
2,5x2 = 5

RUMO AO CN!