IME / ITA ⇒ Múltiplos e Divisores Tópico resolvido

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N = 1.2.3.4.5.(...).(k-1).k é formado pelo produto dos k primeiros números naturais não nulos. Qual é o menor valor possível de k para que [tex3]\frac{N}{7^{17}}[/tex3]

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[tex3]\frac{N}{7^{17}}[/tex3]

seja um número natural, sabendo que k é ímpar e não é múltiplo de 7?

a) 133
b) 119
c) 113
d) 107
e) 105

[csmarcelo]

De 7 até [tex3]15\cdot7[/tex3]

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[tex3]15\cdot7[/tex3]

temos 15 múltiplos de 7.

Todos os múltiplos, obviamente, contêm, pelo menos, um fator 7.

O múltiplo [tex3]7\cdot7[/tex3]

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[tex3]7\cdot7[/tex3]

contém dois fatores 7.

O múltiplo [tex3]14\cdot7[/tex3]

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[tex3]14\cdot7[/tex3]

contém dois fatores 7.

Com isso, temos um total de 17 fatores, o que é suficiente para dividirmos por [tex3]7^{17}[/tex3]

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[tex3]7^{17}[/tex3]

e termos um resultado inteiro.

[tex3]15\cdot7=105[/tex3]

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[tex3]15\cdot7=105[/tex3]

Mas como [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

é ímpar e não é múltiplo de 7, [tex3]k=107[/tex3]

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[tex3]k=107[/tex3]

.