a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Resposta
e
se z=w
/z/=/w/
[tex3]\alpha [/tex3] =[tex3]\theta [/tex3] +2k[tex3]\pi [/tex3]
IME / ITA ⇒ (EN 2014) Números Complexos Tópico resolvido
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gabrielmacc
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Mai 2024
20
14:24
(EN 2014) Números Complexos
25) (Esc. Naval 2014) Se [tex3]\bar{z}[/tex3]
é o conjugado do número complexo [tex3]z[/tex3]
, então o número de soluções da equação [tex3]z^2=\bar{z}[/tex3]
é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
e
Multipliquei os dois lados por z e usei a forma trigonométrica mas eu cai em /z/^3.cis(n[tex3]\theta [/tex3]
)=/z/^2 e eu n sei se eu realmente posso cortar(pq eu acho que tem alguma coisa que diz os complexos nos reais n é injetora) e tbm n sei como eu farias as soluções gerais. porem eu sei que
se z=w
/z/=/w/
[tex3]\alpha [/tex3] =[tex3]\theta [/tex3] +2k[tex3]\pi [/tex3]
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
e
se z=w
/z/=/w/
[tex3]\alpha [/tex3] =[tex3]\theta [/tex3] +2k[tex3]\pi [/tex3]
Editado pela última vez por caju em 20 Mai 2024, 15:06, em um total de 1 vez.
Razão: arrumar tex.
Razão: arrumar tex.
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Mai 2024
20
16:48
Re: (EN 2014) Números Complexos
Eu aplicaria módulo na equação original primeiro.
Vc chega que [tex3]|z|^2=|z|[/tex3] , e portanto [tex3]|z|=0[/tex3] ou [tex3]|z|=1[/tex3] .
Se [tex3]|z|=0[/tex3] , a única opção é [tex3]z=0[/tex3] .
Vamos assumir então que [tex3]|z|=1[/tex3] , e que portanto [tex3]z=cis(\theta)[/tex3] .
Assim, pela equação original, temos [tex3]cis(2\theta)=cis(-\theta)[/tex3] , o que nos dá [tex3]2\theta=-\theta+2\pi k \Rightarrow \theta=\frac{2\pi k}{3}[/tex3] .
[tex3]k=0 \Rightarrow \theta=0 \Rightarrow z=1[/tex3] .
[tex3]k=1 \Rightarrow \theta=\frac{2\pi}{3} \Rightarrow z=cis\left(\frac{2\pi}{3}\right)[/tex3] .
[tex3]k=2 \Rightarrow \theta=\frac{4\pi}{3} \Rightarrow z=cis\left(\frac{4\pi}{3}\right)[/tex3] .
Então [tex3]S=\{0,1,cis\left(\frac{2\pi}{3}\right),cis\left(\frac{4\pi}{3}\right)\}[/tex3] .
Letra E.
Vc chega que [tex3]|z|^2=|z|[/tex3] , e portanto [tex3]|z|=0[/tex3] ou [tex3]|z|=1[/tex3] .
Se [tex3]|z|=0[/tex3] , a única opção é [tex3]z=0[/tex3] .
Vamos assumir então que [tex3]|z|=1[/tex3] , e que portanto [tex3]z=cis(\theta)[/tex3] .
Assim, pela equação original, temos [tex3]cis(2\theta)=cis(-\theta)[/tex3] , o que nos dá [tex3]2\theta=-\theta+2\pi k \Rightarrow \theta=\frac{2\pi k}{3}[/tex3] .
[tex3]k=0 \Rightarrow \theta=0 \Rightarrow z=1[/tex3] .
[tex3]k=1 \Rightarrow \theta=\frac{2\pi}{3} \Rightarrow z=cis\left(\frac{2\pi}{3}\right)[/tex3] .
[tex3]k=2 \Rightarrow \theta=\frac{4\pi}{3} \Rightarrow z=cis\left(\frac{4\pi}{3}\right)[/tex3] .
Então [tex3]S=\{0,1,cis\left(\frac{2\pi}{3}\right),cis\left(\frac{4\pi}{3}\right)\}[/tex3] .
Letra E.
Editado pela última vez por ProfLaplace em 20 Mai 2024, 16:58, em um total de 4 vezes.
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