IME / ITA ⇒ Segmento de Reta e P.G. Tópico resolvido

[Jpgonçalves]

Em uma linha reta marcam-se os pontos consecutivos A, B, C, D e E de maneira que, AB, BC, CD e ED estejam em PG. Se AE = 8, determine [tex3]\frac{AC(AB+CD)}{AB}[/tex3]

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[tex3]\frac{AC(AB+CD)}{AB}[/tex3]

.

Resposta

---

8

[GiovanaMSP]

Sejam [tex3]AB=a_1[/tex3]

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[tex3]AB=a_1[/tex3]

, [tex3]BC=a_2[/tex3]

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[tex3]BC=a_2[/tex3]

, [tex3]CD=a_3[/tex3]

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[tex3]CD=a_3[/tex3]

e [tex3]DE=a_4[/tex3]

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[tex3]DE=a_4[/tex3]

. Do enunciado: [tex3]AE=a_1+a_2+a_3+a_4=8[/tex3]

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[tex3]AE=a_1+a_2+a_3+a_4=8[/tex3]

. Assim:

[tex3]S_4=\frac{a_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{a_1(q-1)(q+1)(q^2+1)}{q-1}=a_1(q+1)(q^2+1)=8[/tex3]

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[tex3]S_4=\frac{a_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{a_1(q-1)(q+1)(q^2+1)}{q-1}=a_1(q+1)(q^2+1)=8[/tex3]

Podemos escrever os termos da P.G. como: [tex3](a_1,a_2,a_3,a_4)=(a_1,a_1q,a_1q^2,a_1q^3)[/tex3]

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[tex3](a_1,a_2,a_3,a_4)=(a_1,a_1q,a_1q^2,a_1q^3)[/tex3]

. Assim:

[tex3]\frac{AC(AB+CD)}{AB}=\frac{(a_1+a_2)(a_1+a_3)}{a_1}=\frac{(a_1+a_1q)(a_1+a_1q^2)}{a_1}=\frac{a_1^2(1+q)(1+q^2)}{a_1}=a_1(q+1)(q^2+1)=8[/tex3]

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[tex3]\frac{AC(AB+CD)}{AB}=\frac{(a_1+a_2)(a_1+a_3)}{a_1}=\frac{(a_1+a_1q)(a_1+a_1q^2)}{a_1}=\frac{a_1^2(1+q)(1+q^2)}{a_1}=a_1(q+1)(q^2+1)=8[/tex3]

Portanto, [tex3]\boxed{\frac{AC(AB+CD)}{AB}=8}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\frac{AC(AB+CD)}{AB}=8}[/tex3]

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[Jpgonçalves]

Muito obrigado, @GiovanaMSP!