IME / ITA ⇒ (IME - 2018) Geometria Plana - Triângulos

[iteana]

Considere um triângulo 𝑨𝑩𝑪 onde 𝑩𝑪 = 𝒂, 𝑨𝑩 = 𝒄, 𝑨𝑪 = 𝒃, 𝒄 > 𝒃. O círculo inscrito a esse triângulo tangencia 𝑩𝑪, em 𝑫 e 𝑫𝑬 é um diâmetro desse círculo. A reta que tangencia o círculo e que passa por 𝑬 intercepta 𝑨𝑩 em 𝑷 e 𝑨𝑪 em 𝑸. A reta 𝑨𝑬 intercepta 𝑩𝑪 no ponto 𝑹. Determine os segmentos de reta 𝑬𝑸 e 𝑫𝑹 em função dos lados do triângulo: 𝒂, 𝒃 e 𝒄.

Resposta

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EQ = [tex3]\frac{(b+c-a)(a+c-b)}{2(a+b+c)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(b+c-a)(a+c-b)}{2(a+b+c)}[/tex3]

e DR = c - b

[petras]

iteana,

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Perceba que os triângulos 𝐴𝑄𝑃 e 𝐴𝐶𝐵 são semelhantes, então, podemos escrever a razão de semelhança igual à razão entre seus perímetros:

[tex3]\frac{AQ}{AC}=\frac{P_{AQP}}{p_{ACB}}=\frac{p-a-x+p-a-y+x+y}{2p}=\frac{p-a}{p}\\

\frac{p-a-x}{b}=\frac{p-a}{p}\\
p(p-a)-px=(p-a)b\\
x=\frac{(p-a)(p-b)}{p}\\
x=\frac{(\frac{a+b+c}{2}-a)(\frac{a+b+c}{2}-b)}{\frac{a+b+c}{2}}\\
x=\frac{(\frac{b+c-a}{2})(\frac{a+c-b}{2})}{\frac{a+b+c}{2}}\\
x=\frac{({b+c-a})(a+c-b)} {2(a+b+c)}\\
\triangle AQE \sim\triangle ACB\\
\frac{AQ}{AC} =\frac{EQ}{CR} \implies \frac{p-a}{p}=\frac{x}{CR} \implies \frac{1}{CR} = \frac{p-a}{p}.\frac{1}{x}\\

Substituindo~x: \frac{1}{CR} = \frac{p-a}{p}.\frac{p}{(p-a)(p-b)} \implies CR = p-b\\
CR=CD+DR = p-b\\
p-c+DR =p-b\
\therefore \boxed{DR = c-b}

(Solução:VictorSo)
\\






[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{AQ}{AC}=\frac{P_{AQP}}{p_{ACB}}=\frac{p-a-x+p-a-y+x+y}{2p}=\frac{p-a}{p}\\

\frac{p-a-x}{b}=\frac{p-a}{p}\\
p(p-a)-px=(p-a)b\\
x=\frac{(p-a)(p-b)}{p}\\
x=\frac{(\frac{a+b+c}{2}-a)(\frac{a+b+c}{2}-b)}{\frac{a+b+c}{2}}\\
x=\frac{(\frac{b+c-a}{2})(\frac{a+c-b}{2})}{\frac{a+b+c}{2}}\\
x=\frac{({b+c-a})(a+c-b)} {2(a+b+c)}\\
\triangle AQE \sim\triangle ACB\\
\frac{AQ}{AC} =\frac{EQ}{CR} \implies \frac{p-a}{p}=\frac{x}{CR} \implies \frac{1}{CR} = \frac{p-a}{p}.\frac{1}{x}\\

Substituindo~x: \frac{1}{CR} = \frac{p-a}{p}.\frac{p}{(p-a)(p-b)} \implies CR = p-b\\
CR=CD+DR = p-b\\
p-c+DR =p-b\
\therefore \boxed{DR = c-b}

(Solução:VictorSo)
\\






[/tex3]