IME / ITA ⇒ (ITA-1950) Enuncie e demonstre a lei dos senos Tópico resolvido

[Jigsaw]

Enuncie e demonstre a lei dos senos para a resolução de triângulos e mostre como calcular a área de um triângulo quando são conhecidos dois lados e o ângulo por eles compreendido.

Resposta

---

Resposta: I)[tex3]\frac{a}{sen\ A}=\frac{b}{sen\ B}=\frac{c}{sen\ C}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{sen\ A}=\frac{b}{sen\ B}=\frac{c}{sen\ C}[/tex3]

; II)[tex3]S=\frac{1}{2}ab\ sen\ C[/tex3]

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[tex3]S=\frac{1}{2}ab\ sen\ C[/tex3]

Fonte: Retirada do livro “Vestibulares de Matemática” por M. Silva Filho e G. Magarinos, pela Editora Nacionalista, em 1960.

OBS = Também mantive os dois itens da questão, mesmo contrariando as regras do Fórum, no sentido de manter a originalidade da questão.

[petras]

Jigsaw,

[tex3]\mathsf{
BD = 2r \implies \angle BCD = \angle C = 90^o\\
\triangle BCD: \angle BDC=\angle D: \angle DBC = \angle B\\
sen(D) = \frac{BC}{BD} = \frac{BC}{2r} \Leftrightarrow 2r = \frac {BC} {sen(D)}(I)\\
\angle BAC = \angle BDC(a.inscritos) \implies sen (D)=sen(A)
\\
De(I): 2r = \frac{BC}{sen(A)}=\frac{a}{sen(A)}\\
Analogamente: 2r = \frac{b}{sen(B)}: 2r = \frac{c}{sen(C)}\\
\therefore \boxed{\frac{a}{sen(A)} = \frac{b}{sen(B)}=\frac{c}{sen(C)}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{
BD = 2r \implies \angle BCD = \angle C = 90^o\\
\triangle BCD: \angle BDC=\angle D: \angle DBC = \angle B\\
sen(D) = \frac{BC}{BD} = \frac{BC}{2r} \Leftrightarrow 2r = \frac {BC} {sen(D)}(I)\\
\angle BAC = \angle BDC(a.inscritos) \implies sen (D)=sen(A)
\\
De(I): 2r = \frac{BC}{sen(A)}=\frac{a}{sen(A)}\\
Analogamente: 2r = \frac{b}{sen(B)}: 2r = \frac{c}{sen(C)}\\
\therefore \boxed{\frac{a}{sen(A)} = \frac{b}{sen(B)}=\frac{c}{sen(C)}}}[/tex3]

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"Teorema das Áreas: “A área do triângulo é igual ao semiproduto das medidas de dois lados pelo seno do ângulo formado por estes lados”."

Veja mais sobre "Calculando a área do triângulo utilizando os ângulos" em: https://brasilescola.uol.com.br/matemat ... ngulos.htm
[tex3]\mathsf{

S_{\triangle ABC} = \frac {c.h}{2}(I)\\
\triangle ACH:sen\angle A = \frac{h}{b}\implies h = sen\angle A.b \\
Em(I): \boxed{S_{\triangle ABC} = \frac{c.b.sen \angle A}{2}}

}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{

S_{\triangle ABC} = \frac {c.h}{2}(I)\\
\triangle ACH:sen\angle A = \frac{h}{b}\implies h = sen\angle A.b \\
Em(I): \boxed{S_{\triangle ABC} = \frac{c.b.sen \angle A}{2}}

}[/tex3]

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