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Mensagem não lidapor **gabrielifce** » 21 Mai 2012, 09:52

Um fio de comprimento L é cortado em dois pedaços um dos quais formará um quadrado e o outro um triângulo equilátero. Para que a soma das áreas do quadrado e do triângulo seja mínima, o fio deve ser cortado de forma que o comprimento do lado do triângulo seja:
[tex3]a) \frac{3L}{7}\\
b) \frac{L(9-4\sqrt{3})}{11}\\
c) \frac{\sqrt{3}L}{9+4\sqrt{3}}\\
D) \frac{3L}{2}\\
E) \frac{\sqrt{3}L}{3}[/tex3]

Resposta

Resp item B

Mensagem não lidapor **emanuel9393** » 21 Mai 2012, 11:56

Olá, gabrielifce!

Eu fiz o seguinte:

O fio foi dividido em duas partes: $x$ e $L \, - \, x$ . Vamos considerar que o pedaço de comprimento $x$ tenha sido usado para formar o triângulo equilátero:

Área do triângulo:

$A_{t} \, = \, \frac{\left(\frac{x}{3}\right)^{2} \sqrt{3}}{2} \, = \, \frac{\frac{x^{2}}{9} \sqrt{3}}{2} \, = \, \boxed{\frac{x^{2} \sqrt{3}}{18}}$

Área do quadrado:

$A_{q}\, = \, \left(\frac{L \, - \, x}{4}\right)^{2} \, = \, \boxed{\frac{L^{2} \, - \,2Lx \, + \,x^{2}}{4}}$

Logo:

$A_{total} \, = \, A_{q} \, + \, A_{t} \\ A_{total} \, = \, \frac{L^{2} \, - \,2Lx \, + \,x^{2}}{4} \, + \, \frac{x^{2} \sqrt{3}}{18} \\ \\ A_{total} \, = \, \frac{1}{4}L^{2} \, - \, \left(\frac{1}{2}x\right)L \, + \, \left(\frac{1}{4} \, + \, \frac{\sqrt{3}}{18}\right)x^{2}$

Só que essa equação apresenta somente valor máximo. Sinceramente, não sei o que há de errado.

Um abraço!

Digamos que cortamos a uma distância $x$ da borda do fio.

Então $\frac{x}{3}$ será o lado do triâgulo equilátero e $\frac{L-x}{4}$ será o lado do quadrado.

Sendo $S$ a soma das áreas:

$S=A_{T} +A__{Q}$
$S=\frac{(\frac{x}{3})^2\sqrt3}{4}+\left(\frac{L-x}{4}\right)^2$
$S=\frac{x^2\sqrt3}{36}+\frac{L^2-2Lx+x^2}{16}=\frac{4x^2\sqrt3+9(L^2-2Lx+x^2)}{144}$
$S=\frac{4x^2\sqrt3+9L^2-18Lx+9x^2}{144}=\frac{x^2(4\sqrt3+9)-18Lx+9L^2}{144}$

Para que a soma das áreas seja mínima, temos que $x=-\frac{b}{2a}$

$x=-\frac{\frac{-18L}{144}}{2 \cdot (\frac{4\sqrt3+9}{144})}=\frac{9L}{4\sqrt3+9}=\frac{9L(4\sqrt3-9)}{(4\sqrt3+9)(4\sqrt3-9)}=\frac{36L\sqrt3-81L}{48-81}=\frac{36L\sqrt3-81L}{(-33)}=\frac{9L(4\sqrt3-9)}{(-33)}=\frac{3L(9-4\sqrt3)}{11}$

O lado do triângulo é $\frac{x}{3}=\frac{3L(9-4\sqrt3)}{11\cdot 3}=\frac{L(9-\sqrt3)}{11}$

Espeor ter ajudado.

Mensagem não lidapor **brunoafa** » 02 Mai 2015, 14:54 · Mensagem não lida por **brunoafa** » 02 Mai 2015, 14:54

Muito foda essa questão, quem diria que é da EsPCEx!

Mensagem não lidapor **brunoafa** » 02 Mai 2015, 14:58 · Mensagem não lida por **brunoafa** » 02 Mai 2015, 14:58

VALDECIRTOZZI escreveu: Para que a soma das áreas seja mínima, temos que $x=-\frac{b}{2a}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]x=-\frac{b}{2a}[/tex3]

Por que $-\frac{b}{2a}$ e não $-\frac{\Delta}{4a}$ ??

Mensagem não lidapor **emanuel9393** » 02 Mai 2015, 15:26

Olá, brunoafa!

Não se esqueça das expressões que definem as coordenadas do vértice:

$V(x_v,y_v) = V\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$

O seja, $-\Delta/4a$ corresponde à ordenada do vértice e não a abcissa.

Grande abraço!

Mensagem não lidapor **brunoafa** » 02 Mai 2015, 15:47 · Mensagem não lida por **brunoafa** » 02 Mai 2015, 15:47

emanuel9393 escreveu:Olá, brunoafa!

Não se esqueça das expressões que definem as coordenadas do vértice:
$V(x_v,y_v) = V\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$
Código: Selecionar tudo
[tex3]V(x_v,y_v) = V\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{\Delta}{4a}\right)[/tex3]
O seja, $-\Delta/4a$
Código: Selecionar tudo
[tex3]-\Delta/4a[/tex3]
corresponde à ordenada do vértice e não a abcissa.

Grande abraço!

Sim, eu sei, mas como a>0 a função admite valor mínimo

: url.gif (3.13 KiB) Exibido 2983 vezes

Por que pegar o x do vértice e não o y?

Acho que estou confundindo com a física que tem problemas de distância mínima entre dois corpos, mas mesmo assim não entendi muito bem isso.

Mensagem não lidapor **emanuel9393** » 02 Mai 2015, 23:28

Olá, brunoafa!

Procure entender. Nesse caso, a soma das áreas $S$ é uma função do segundo grau em $x$ . Em outras palavras, em um gráfico de $S$ em função de $x$ , o $S$ é a ordenada e o $x$ é a abcissa. O que ele fez foi procurar o valor de $x$ que produz o $S$ mínimo. Nesse caso, determinar o $x$ para o $S$ mínimo permite determinar o lado do triângulo que é o que o problema pede. Entendeu?

Grande abraço!

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