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Mensagem não lidapor **Jigsaw** » 09 Set 2023, 10:40 · Mensagem não lida por **Jigsaw** » 09 Set 2023, 10:40

Prove que as medianas do triângulo cujos vértices são os pontos (a,0), (b,0) e (0,c) são concorrentes e determine as coordenadas de seu ponto comum.

Resposta

S/ GAB

Mensagem não lidapor **παθμ** » 16 Out 2023, 10:41 · Mensagem não lida por **παθμ** » 16 Out 2023, 10:41

Pontos: [tex3]A(a,0), \; B(b,0), \; C(0,c).[/tex3] Sejam A', B' e C' os pontos médios de BC, AC e AB, respectivamente.

[tex3]A'=\left(\frac{b+0}{2}, \frac{c+0}{2}\right)=\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2}\right). \; [/tex3]

[tex3]B'=\left(\frac{a+0}{2},\frac{c+0}{2}\right)=\left(\frac{a}{2},\frac{c}{2}\right).[/tex3]

[tex3]C'=\left(\frac{a+b}{2},\frac{0+0}{2}\right)=\left(\frac{a+b}{2},0\right).[/tex3]

Determinando as equações das retas AA', BB' e CC', que contêm as medianas:

[tex3]AA': \; y=\frac{c(x-a)}{b-2a}.[/tex3]

[tex3]BB': \; y=\frac{c(x-b)}{a-2b}.[/tex3]

[tex3]CC':\; y=c\left(1-\frac{2x}{a+b}\right).[/tex3]

Seja o ponto [tex3]P(x_p,y_p)[/tex3] a interseção das retas AA' e BB'. Temos:

[tex3]\frac{c(x_p-a)}{b-2a}=\frac{c(x_p-b)}{a-2b} \Longrightarrow 3ax_p-3bx_p=a^2-b^2 \Longrightarrow 3x_p(a-b)=(a-b)(a+b) \Longrightarrow x_p=\frac{a+b}{3}. [/tex3]

Plugando isso na equação de AA' ou BB' para descobrir [tex3]y_p,[/tex3] obtemos [tex3]y_p=\frac{c}{3}.[/tex3]

Agora, plugando [tex3]x_p[/tex3] na equação de CC', obtemos [tex3]y(x_p)=\frac{c}{3}=y_p[/tex3] , ou seja, a reta CC' passa pela interseção de AA' e BB'. Portanto, as três medianas são concorrentes e as coordenadas do ponto comum são [tex3]\boxed{\left(\frac{a+b}{3},\frac{c}{3}\right)}[/tex3]

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