IME / ITA ⇒ (ITA-1961) Deduzir a relação de Stifel Tópico resolvido

[Jigsaw]

5 – Deduzir a relação de Stifel
[tex3]\begin{pmatrix}
n \\
k-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
n \\
k-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

+ [tex3]\begin{pmatrix}
n \\
k \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
n \\
k \\
\end{pmatrix}[/tex3]

= ...

Resposta

---

S/ GAB

[παθμ]

[tex3]\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}=n!\left(\frac{1}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{1}{k!(n-k)!}\right).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}=n!\left(\frac{1}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{1}{k!(n-k)!}\right).[/tex3]

Multiplicando a primeira fração em cima e embaixo por [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

, e, na segunda, por [tex3]n-k+1[/tex3]

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[tex3]n-k+1[/tex3]

:

[tex3]n!\left(\frac{k}{k!(n-k+1)!}+\frac{n-k+1}{k!(n-k+1)!}\right)=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\boxed{\binom{n+1}{k}}[/tex3]

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[tex3]n!\left(\frac{k}{k!(n-k+1)!}+\frac{n-k+1}{k!(n-k+1)!}\right)=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\boxed{\binom{n+1}{k}}[/tex3]