Seja [tex3]\mathsf{\vec{C}}[/tex3]
a força de contato que a esfera maior faz na menor.
Desenhando o diagrama de forças para a esfera menor, considerando a tração, o peso, o contato e disposição geométrica:
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Do diagrama, temos que [tex3]\mathsf{\vec{C} \ = \ C \cdot \cos(\theta) \ \hat{i} \ + \ C \cdot \sin(\theta) \ \hat{j}}[/tex3]
, que [tex3]\mathsf{\vec{T} \ = \ -T \cdot \sin(\theta) \ \hat{i} \ + \ T \cdot \cos(\theta) \ \hat{j}}[/tex3]
, e [tex3]\mathsf{\vec{P} \ = \ - m\cdot g \ \hat{j}.}[/tex3]
Equilíbrio horizontal para a esfera menor:
[tex3]\mathsf{C \cdot \cos(\theta) \ = \ T \cdot \sin(\theta) \ \rightarrow \ T \ = \ C \cdot \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}}[/tex3]
Equilíbrio vertical para a esfera menor:
[tex3]\mathsf{C \cdot \sin(\theta) \ + \ \cancelto{C \cdot \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}}{T} \cdot \cos(\theta) \ = \ m\cdot g \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{C \ = \ m \cdot g \cdot \sin(\theta)}[/tex3]
é o módulo da força de contato entre as esferas.
Para a esfera maior, apoiada em superfícies lisas horizontal e vertical, temos o seguinte diagrama:
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Projetando a força de contato, teremos os equilíbrios horizontal e vertical para essa esfera.
Equilíbrio horizontal:
[tex3]\mathsf{N_h \ = \ C \cdot \cos(\theta)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{N_h \ = \ m \cdot g \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)}[/tex3]
Equilíbrio vertical:
[tex3]\mathsf{N_v \ = \ C \cdot \sin(\theta) \ + \ 2 \cdot m \cdot g}[/tex3]
[tex3]\mathsf{N_v \ = \ m \cdot g \cdot \sin^2(\theta) \ + \ 2 \cdot m \cdot g}[/tex3]
[tex3]\mathsf{N_v \ = \ m \cdot g \cdot \bigg(2 \ + \ \sin^2(\theta)\bigg)}[/tex3]
A resultante das forças normais tem módulo [tex3]\mathsf{N_t \ = \ \sqrt{N_h^2 \ + \ N_v^2}:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{N_t \ = \ \sqrt{(m \cdot g)^2 \cdot (\sin^2(\theta) \cdot \cos^2(\theta) \ + \ 4 \ + \ 4\cdot \sin^2(\theta) \ + \ \sin^4(\theta))}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{N_t \ = \ m \cdot g \cdot \sqrt{4 \ + \ \sin^2(\theta) \cdot \ (\cos^2(\theta) \ + \ \sin^2(\theta) \ + \ 4)}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{N_t \ = \ m \cdot g \cdot \sqrt{4 \ + \ 5 \cdot \sin^2(\theta)}}[/tex3]
A razão pedida é [tex3]\mathsf{\dfrac{N_t}{C}:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{\cancel{m \cdot g} \cdot \sqrt{4 \ + \ 5 \cdot \sin^2(\theta)}}{\cancel{m \cdot g} \cdot \sin(\theta)}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\sqrt{\dfrac{4 \ \ + \ 5 \cdot \sin^2(\theta)}{\sin^2(\theta)}}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{= \ \sqrt{5 \ + \ 4 \ \cdot \cossec^2(\theta)}}}}[/tex3]
Obs: A esfera menor tem dimensões desprezíveis (portanto, o torque sobre ela é nulo) e todas as forças que agem na esfera maior são direcionadas para o centro, tornando-se nulo o torque em relação ao centro da mesma.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
