IME/ITA ⇒ (Escola naval-2016) Gravitação Tópico resolvido

[JohnnyEN]

Na figura acima, tem-se duas cascas esféricas concêntricas: casca A de raio [tex3]Ra = 1m[/tex3]

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[tex3]Ra = 1m[/tex3]

e casca B de raio [tex3]Rb = 3m[/tex3]

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[tex3]Rb = 3m[/tex3]

, ambas com massa [tex3]M[/tex3]

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[tex3]M[/tex3]

e com os centros em x = 0 . Em x=20m, tem-se o centro de uma esfera maciça de raio [tex3]Rc =2m[/tex3]

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[tex3]Rc =2m[/tex3]

e massa [tex3]81M[/tex3]

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[tex3]81M[/tex3]

. Considere agora, uma partícula de massa [tex3]m[/tex3]

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[tex3]m[/tex3]

colocada em x=2,0m, Sendo G a constante gravitacional, qual a força gravitacional resultante sobre a partícula?

A) [tex3]\frac{GMm}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{GMm}{4}[/tex3]

para a direita
B) [tex3]\frac{GMm}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{GMm}{2}[/tex3]

para a direita
C) [tex3]\frac{GMm}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{GMm}{2}[/tex3]

para a esquerda
D) [tex3]\frac{GMm}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{GMm}{4}[/tex3]

para a esquerda
E) zero

Resposta

---

GAB: E

[gustavo2020]

Pelo teorema das cascas esféricas, sabemos que a casca B não exerce força sobre a partícula e que a força produzida pela casca A é equivalente a como se toda a sua massa estivesse concentrada no centro.
[tex3]F_A=\frac{GMm}{2^2}=\frac{GMm}{4}[/tex3]

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[tex3]F_A=\frac{GMm}{2^2}=\frac{GMm}{4}[/tex3]

[tex3]F_C=\frac{G(81M)m}{18^2}=\frac{GMm}{4}[/tex3]

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[tex3]F_C=\frac{G(81M)m}{18^2}=\frac{GMm}{4}[/tex3]

Dessa forma, como as forças estão em sentidos contrários, a força resultante sobre a partícula será:
[tex3]F_{res}=F_A-F_C[/tex3]

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[tex3]F_{res}=F_A-F_C[/tex3]

[tex3]\boxed{F_{res}=0}[/tex3]

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[tex3]\boxed{F_{res}=0}[/tex3]

[careca]

Mas por que a casca B não gera força gravitacional?

Considerando a esfera de massa m dentro de um planeta de massa M e raio R

[tex3]λ = \frac{M}{4/3 .\pi R^3} = \frac{m(int)}{4/3.\pi.x^3 } => m(int) = M.\frac{x^3}{R^3}[/tex3]

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[tex3]λ = \frac{M}{4/3 .\pi R^3} = \frac{m(int)}{4/3.\pi.x^3 } => m(int) = M.\frac{x^3}{R^3}[/tex3]

Pela lei de gauss:

[tex3]\int\limits_{}^{}g.dA = 4\pi G.m(int)[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}g.dA = 4\pi G.m(int)[/tex3]

[tex3]g.4\pi x^2 = 4\pi G.M.\frac{x^3}{R^3}[/tex3]

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[tex3]g.4\pi x^2 = 4\pi G.M.\frac{x^3}{R^3}[/tex3]

[tex3]g = G.M.\frac{x}{R^3}[/tex3]

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[tex3]g = G.M.\frac{x}{R^3}[/tex3]

Então, a força gravitacional em m vai ser:

[tex3]F_g = mg =\frac{G.M.m.x}{R^3}[/tex3]

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[tex3]F_g = mg =\frac{G.M.m.x}{R^3}[/tex3]

Onde está meu erro?

[LucasDN684]

Mas por que a casca B não gera força gravitacional?

Prezado,

Considere que as cascas esféricas têm suas massas uniformemente distribuídas através de suas superfícies, mas por suas espessuras "desprezíveis" não perdem a característica esférica; note também que a esfera maciça está hachurada, diferentemente das cascas, ratificando esta hipótese. Se considerarmos a gaussiana esférica de centro em x=0 e raio r=2, perceba que a massa referente a B no interior da gaussiana é zero, portanto a casca esférica B não produz um campo dentro de si.

Nesse cenário, basta calcularmos a força resultante das interações gravitacionais entre a partícula, a casca A e a esfera maciça, cujo valor é zero, conforme o gustavo2020 pontuou.