IME/ITA ⇒ (IME 2001) Ciclo de Carnot. Tópico resolvido

[Jpgonçalves]

Uma máquina térmica operando em um ciclo de Carnot recebe calor de um reservatório térmico cuja temperatura é [tex3]T_{H}[/tex3]

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[tex3]T_{H}[/tex3]

e cede calor a um segundo reservatório com temperatura desconhecida. Uma segunda máquina térmica, também operando em um ciclo de Carnot recebe calor deste último reservatório e cede calor a um terceiro reservatório com temperatura [tex3]T_{C}[/tex3]

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[tex3]T_{C}[/tex3]

. Determine uma expressão termodinamicamente admissível para a temperatura T do segundo reservatório, que envolva apenas Tн e Tc, supondo que:

a)O rendimento dos dois ciclos de Carnot seja o mesmo.
b) O trabalho desenvolvido em cada um dos ciclos seja o mesmo.

Resposta

---

a) [tex3] T =(T_{H}T_{C})^{1/2}[/tex3]

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[tex3] T =(T_{H}T_{C})^{1/2}[/tex3]

, b) [tex3]T' = \frac {T_{H} + T_{C}}{2}[/tex3]

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[tex3]T' = \frac {T_{H} + T_{C}}{2}[/tex3]

[παθμ]

Jpgonçalves,

image - 2023-08-28T215656.752.png (54.96 KiB) Exibido 539 vezes

a) Cada máquina realiza individualmente um ciclo de Carnot: [tex3]\eta_1=1-\frac{T}{T_H}[/tex3]

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[tex3]\eta_1=1-\frac{T}{T_H}[/tex3]

, [tex3]\eta_2=1-\frac{T_C}{T}[/tex3]

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[tex3]\eta_2=1-\frac{T_C}{T}[/tex3]

.

[tex3]\eta_1=\eta_2 \Longrightarrow \boxed{T=\sqrt{T_C T_H}}[/tex3]

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[tex3]\eta_1=\eta_2 \Longrightarrow \boxed{T=\sqrt{T_C T_H}}[/tex3]

b) Neste item, é necessário assumir que [tex3]\Delta Q_2=\Delta Q_3[/tex3]

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[tex3]\Delta Q_2=\Delta Q_3[/tex3]

, senão não há resposta. Sinceramente, faltam dados para que se possa assumir isso, visto que, sendo [tex3]T[/tex3]

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[tex3]T[/tex3]

um reservatório (capacidade térmica infinita), ele não precisa ter um [tex3]\sum \Delta Q[/tex3]

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[tex3]\sum \Delta Q[/tex3]

igual a zero para permanecer com temperatura constante. Prosseguindo:

[tex3]\Delta W_1= \eta_1 \Delta Q_1= \left(1-\frac{T}{T_H}\right) \Delta Q_1[/tex3]

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[tex3]\Delta W_1= \eta_1 \Delta Q_1= \left(1-\frac{T}{T_H}\right) \Delta Q_1[/tex3]

.

[tex3]\Delta Q_2= \Delta Q_1-\Delta W_1=\Delta Q_1-\eta_1 \Delta Q_1=\frac{T}{T_H}\Delta Q_1=\Delta Q_3[/tex3]

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[tex3]\Delta Q_2= \Delta Q_1-\Delta W_1=\Delta Q_1-\eta_1 \Delta Q_1=\frac{T}{T_H}\Delta Q_1=\Delta Q_3[/tex3]

,

[tex3]\Delta W_2=\eta_2 \Delta Q_3=\left(1-\frac{T_C}{T}\right) \Delta Q_3=\left(1-\frac{T_C}{T}\right) \frac{T}{T_H} \Delta Q_1[/tex3]

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[tex3]\Delta W_2=\eta_2 \Delta Q_3=\left(1-\frac{T_C}{T}\right) \Delta Q_3=\left(1-\frac{T_C}{T}\right) \frac{T}{T_H} \Delta Q_1[/tex3]

Fazendo então [tex3]\Delta W_1=\Delta W_2[/tex3]

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[tex3]\Delta W_1=\Delta W_2[/tex3]

vem [tex3]\boxed{T=\frac{T_H + T_C}{2}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{T=\frac{T_H + T_C}{2}}[/tex3]

[Jpgonçalves]

Muito obrigado, παθμ !