IME/ITA ⇒ Fisica Quântica - Poço de potencial Tópico resolvido
Mar 2023
05
13:54
Fisica Quântica - Poço de potencial
Determine o espectro da partícula quântica no poço infinito de potencial unidimensional. Calcule a densidade de probabilidade e a corrente de probabilidade para o estado n = 3.
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Deleted User 23699
- Última visita: 31-12-69
Mar 2023
05
16:28
Re: Fisica Quântica - Poço de potencial
Essa questão é um pouco viajada pro IME e ITA.
Uma vez, algo assim caiu no ITA. A solução usava cordas vibrantes e equação de De Broglie. Talvez isso te ajude.
Uma vez, algo assim caiu no ITA. A solução usava cordas vibrantes e equação de De Broglie. Talvez isso te ajude.
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παθμ
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Abr 2023
09
10:29
Re: Fisica Quântica - Poço de potencial
Equação de Schrodinger independente do tempo:
[tex3]-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\varphi}{dx^2}+V(x)\varphi(x)=E\varphi(x)[/tex3]
Considere que nosso poço quadrado infinito está localizado no intervalo [tex3]0< x < a[/tex3] . A função de onda é igual a 0 em todos os outros pontos, e, no interior do poço, a energia potencial é constante, e, por conveniência, igual a 0: [tex3]V(x)=0[/tex3] .
No interior do poço: [tex3]-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\varphi}{dx^2}=E\varphi(x)\rightarrow \frac{d^2\varphi}{dx^2}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\varphi(x)[/tex3]
Sabe-se que a solução geral de uma equação diferencial desse tipo é [tex3]\varphi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)[/tex3] , onde [tex3]k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}[/tex3] .
Devido à continuidade da função de onda, as condições de contorno são:
1. [tex3]\varphi(0)=0 \rightarrow B=0[/tex3]
2. [tex3]\varphi(a)=0 \rightarrow A\sin(ka)=0 \rightarrow ka=n\pi ;n=1,2,3,... \rightarrow k=\frac{n\pi }{a}.[/tex3]
As energias dos estados estacionários (ou o "espectro" da partícula) são, então: [tex3]E_n=\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{n\pi }{a})^2 \rightarrow E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}[/tex3]
Agora, precisamos encontrar a constante [tex3]A[/tex3] . Para isso, normalizamos [tex3]\varphi(x)[/tex3] :
[tex3]\int\limits_{0}^{a}|\varphi (x)|^2dx=1 \rightarrow |A^2|\int\limits_{0}^{a}\sin^2(\frac{nπx}{a})=1[/tex3]
A integral acima é calculada usando a identidade: [tex3]\cos(2x)=2(1-\sin^2(x))-1 \rightarrow \sin^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}[/tex3]
Assim: [tex3]\frac{|A^2|}{2}\int\limits_{0}^{a}(1-\cos(\frac{2nπx}{a}) )dx=1[/tex3]
A integral acima é trivial: [tex3]\frac{|A^2|}{2}(a-\frac{a\sin(2πn)}{n})=1 \rightarrow |A|^2=\frac{2}{a}[/tex3] (onde foi usado que sin(2πn)=0.)
O quadrado do módulo da função de onda independente do tempo para [tex3]n=3[/tex3] é, portanto: [tex3]|\varphi(x)|^2={\frac{2}{a}}\sin^2(3πx/a).[/tex3]
Sabemos que, para um estado estacionário, a evolução da função de onda [tex3]\psi(x,t)[/tex3] é [tex3]\psi(x,t)=\psi(x,0)\exp(-\frac{iEt}{\hbar})=\varphi(x)\exp(-\frac{iEt}{\hbar})\rightarrow |\psi(x,t)|=|\varphi(x)|[/tex3] (onde foi usado que o módulo do produto é igual ao produto dos módulos e que [tex3]|e^{ix}|=1[/tex3] .
Portanto, a densidade de probabilidade para n=3 é [tex3]|\varphi(x)|^2=\frac{2}{a}\sin^2(\frac{3πx}{a})[/tex3].
Considere a probabilidade de encontrarmos a partícula entre dois pontos [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] :
[tex3]P_{bc}(t)=\int\limits_{b}^{c}|\psi (x,t)| ^2dx=\frac{2}{a}\int\limits_{b}^{c}\sin^2(\frac{3\pi x}{a})dx[/tex3]
É fácil ver que [tex3]\frac{dP_{bc}(t)}{dt}=0[/tex3] , logo não há probabilidade entrando ou saindo de qualquer região, portanto a corrente de probabilidade é constante. Como não faz sentido ter probabilidade entrando ou saindo pelas paredes do poço, temos que a corrente de probabilidade é zero.
Obs: Questão incompatível com o fórum (IME/ITA).
[tex3]-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\varphi}{dx^2}+V(x)\varphi(x)=E\varphi(x)[/tex3]
Considere que nosso poço quadrado infinito está localizado no intervalo [tex3]0< x < a[/tex3] . A função de onda é igual a 0 em todos os outros pontos, e, no interior do poço, a energia potencial é constante, e, por conveniência, igual a 0: [tex3]V(x)=0[/tex3] .
No interior do poço: [tex3]-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\varphi}{dx^2}=E\varphi(x)\rightarrow \frac{d^2\varphi}{dx^2}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\varphi(x)[/tex3]
Sabe-se que a solução geral de uma equação diferencial desse tipo é [tex3]\varphi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)[/tex3] , onde [tex3]k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}[/tex3] .
Devido à continuidade da função de onda, as condições de contorno são:
1. [tex3]\varphi(0)=0 \rightarrow B=0[/tex3]
2. [tex3]\varphi(a)=0 \rightarrow A\sin(ka)=0 \rightarrow ka=n\pi ;n=1,2,3,... \rightarrow k=\frac{n\pi }{a}.[/tex3]
As energias dos estados estacionários (ou o "espectro" da partícula) são, então: [tex3]E_n=\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{n\pi }{a})^2 \rightarrow E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}[/tex3]
Agora, precisamos encontrar a constante [tex3]A[/tex3] . Para isso, normalizamos [tex3]\varphi(x)[/tex3] :
[tex3]\int\limits_{0}^{a}|\varphi (x)|^2dx=1 \rightarrow |A^2|\int\limits_{0}^{a}\sin^2(\frac{nπx}{a})=1[/tex3]
A integral acima é calculada usando a identidade: [tex3]\cos(2x)=2(1-\sin^2(x))-1 \rightarrow \sin^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}[/tex3]
Assim: [tex3]\frac{|A^2|}{2}\int\limits_{0}^{a}(1-\cos(\frac{2nπx}{a}) )dx=1[/tex3]
A integral acima é trivial: [tex3]\frac{|A^2|}{2}(a-\frac{a\sin(2πn)}{n})=1 \rightarrow |A|^2=\frac{2}{a}[/tex3] (onde foi usado que sin(2πn)=0.)
O quadrado do módulo da função de onda independente do tempo para [tex3]n=3[/tex3] é, portanto: [tex3]|\varphi(x)|^2={\frac{2}{a}}\sin^2(3πx/a).[/tex3]
Sabemos que, para um estado estacionário, a evolução da função de onda [tex3]\psi(x,t)[/tex3] é [tex3]\psi(x,t)=\psi(x,0)\exp(-\frac{iEt}{\hbar})=\varphi(x)\exp(-\frac{iEt}{\hbar})\rightarrow |\psi(x,t)|=|\varphi(x)|[/tex3] (onde foi usado que o módulo do produto é igual ao produto dos módulos e que [tex3]|e^{ix}|=1[/tex3] .
Portanto, a densidade de probabilidade para n=3 é [tex3]|\varphi(x)|^2=\frac{2}{a}\sin^2(\frac{3πx}{a})[/tex3].
Considere a probabilidade de encontrarmos a partícula entre dois pontos [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] :
[tex3]P_{bc}(t)=\int\limits_{b}^{c}|\psi (x,t)| ^2dx=\frac{2}{a}\int\limits_{b}^{c}\sin^2(\frac{3\pi x}{a})dx[/tex3]
É fácil ver que [tex3]\frac{dP_{bc}(t)}{dt}=0[/tex3] , logo não há probabilidade entrando ou saindo de qualquer região, portanto a corrente de probabilidade é constante. Como não faz sentido ter probabilidade entrando ou saindo pelas paredes do poço, temos que a corrente de probabilidade é zero.
Obs: Questão incompatível com o fórum (IME/ITA).
Editado pela última vez por παθμ em 09 Abr 2023, 11:38, em um total de 5 vezes.
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