Resposta
[tex3]B=\frac{\mu _0il}{2\pi (b^2-a^2)}[/tex3]
Física III ⇒ (FB) Campo magnético Tópico resolvido
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Ago 2021
09
18:09
(FB) Campo magnético
Dentro de um condutor homogêneo retilíneo, de seção transversal circular de raio b existe uma cavidade cilíndrica de raio a, cujo eixo dista de l do eixo do condutor. Por este último flui uma corrente estacionária cujo valor é i. Determine a indução magnética no interior da cavidade e analise o caso limite para l = 0.
[tex3]B=\frac{\mu _0il}{2\pi (b^2-a^2)}[/tex3]
[tex3]B=\frac{\mu _0il}{2\pi (b^2-a^2)}[/tex3]
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παθμ
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Mai 2023
23
15:02
Re: (FB) Campo magnético
Seja 1 o cilindro grande, de raio [tex3]b[/tex3]
, e 2 o cilindro pequeno, de raio [tex3]a[/tex3]
.
Densidade superficial de corrente no condutor: [tex3]\sigma=\frac{I}{\pi(b^2-a^2)}[/tex3]
Pelo princípio da superposição, nosso sistema consiste em um cilindro de raio [tex3]b[/tex3] com corrente [tex3]I_1=\sigma \pi b^2=\frac{b^2I}{b^2-a^2}[/tex3] , e em um cilindro de raio [tex3]a[/tex3] com corrente [tex3]I_2=\sigma \pi a^2=\frac{a^2I}{b^2-a^2}[/tex3] , no sentido oposto.
Consideramos um ponto qualquer no interior da cavidade. Seja [tex3]\vec{r_1}[/tex3] o vetor posição desse ponto relativo ao centro do cilindro 1, [tex3]\vec{r_2}[/tex3] o vetor posição relativo ao cilindro 2, e [tex3]\vec{l}[/tex3] um vetor distância que vai do centro do cilindro 1 ao centro do cilindro 2.
Antes de mais nada, precisamos determinar o campo magnético no interior de um cilindro infinito, com corrente uniformemente distribuída. Seja [tex3]r[/tex3]
a posição radial do ponto no qual queremos saber o campo magnético, [tex3]R[/tex3]
o raio do cilindro e [tex3]i[/tex3]
sua corrente. Considere uma ampèriana circular de raio [tex3]r[/tex3]
, cujo centro coincide com o eixo do cilindro. O campo magnético deve ser igual em todos os seus pontos: [tex3]\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}=2\pi rB[/tex3]
.
Além disso, pela corrente ser uniformemente distribuída, a corrente que atravessa essa amperiana é [tex3]\frac{i}{\pi R^2}\times \pi r^2=\frac{ir^2}{R^2}[/tex3] .
Então, pela lei de ampere: [tex3]B=\frac{\mu_0 ir}{2\pi R^2}[/tex3] , e o sentido do campo magnético é determinado pela regra da mão direita.
Isso pode ser expresso convenientemente por um produto vetorial: [tex3]\vec{B}=\frac{\mu_0 \vec{i} \times \vec{r}}{2\pi R^2}[/tex3] .
Ou seja, a contribuição que o cilindro 1 possui para o campo magnético é [tex3]\vec{B_1}=\frac{\mu_0 \vec{I_1} \times\vec{r_1}}{2\pi b^2}=\frac{\mu_0 \vec{I} \times \vec{r_1}}{2\pi (b^2-a^2)}[/tex3] , e a do cilindro 2 é [tex3]\vec{B_2}=\frac{\mu_0 \vec{I_2} \times \vec{r_2}}{2\pi a^2}=-\frac{\mu_0 \vec{I} \times \vec{r_2}}{2\pi (b^2-a^2)}[/tex3] .
Portanto, o campo magnético no interior da cavidade é [tex3]\vec{B}=\vec{B_1}+\vec{B_2}=\frac{\mu_0}{2\pi (b^2-a^2)} \vec{I} \times (\vec{r_1}-\vec{r_2})=\frac{\mu_0 \vec{I} \times \vec{l}}{2\pi (b^2-a^2)}[/tex3] .
Portanto, o campo magnético é igual em todos os pontos da cavidade, possuindo módulo [tex3]B=\frac{\mu_0 I l}{2\pi(b^2-a^2)}[/tex3] e sentido definido por [tex3]\vec{I} \times \vec{l}[/tex3] . No caso do meu desenho, ele seria vertical para baixo.
Para [tex3]l=0[/tex3] , o campo é nulo, o que faz total sentido, pela simetria.
Densidade superficial de corrente no condutor: [tex3]\sigma=\frac{I}{\pi(b^2-a^2)}[/tex3]
Pelo princípio da superposição, nosso sistema consiste em um cilindro de raio [tex3]b[/tex3] com corrente [tex3]I_1=\sigma \pi b^2=\frac{b^2I}{b^2-a^2}[/tex3] , e em um cilindro de raio [tex3]a[/tex3] com corrente [tex3]I_2=\sigma \pi a^2=\frac{a^2I}{b^2-a^2}[/tex3] , no sentido oposto.
Consideramos um ponto qualquer no interior da cavidade. Seja [tex3]\vec{r_1}[/tex3] o vetor posição desse ponto relativo ao centro do cilindro 1, [tex3]\vec{r_2}[/tex3] o vetor posição relativo ao cilindro 2, e [tex3]\vec{l}[/tex3] um vetor distância que vai do centro do cilindro 1 ao centro do cilindro 2.
- 3e9ac9fc-c860-4d1e-a430-acb65ceb2a4c.jpeg (17.18 KiB) Exibido 323 vezes
Além disso, pela corrente ser uniformemente distribuída, a corrente que atravessa essa amperiana é [tex3]\frac{i}{\pi R^2}\times \pi r^2=\frac{ir^2}{R^2}[/tex3] .
Então, pela lei de ampere: [tex3]B=\frac{\mu_0 ir}{2\pi R^2}[/tex3] , e o sentido do campo magnético é determinado pela regra da mão direita.
Isso pode ser expresso convenientemente por um produto vetorial: [tex3]\vec{B}=\frac{\mu_0 \vec{i} \times \vec{r}}{2\pi R^2}[/tex3] .
Ou seja, a contribuição que o cilindro 1 possui para o campo magnético é [tex3]\vec{B_1}=\frac{\mu_0 \vec{I_1} \times\vec{r_1}}{2\pi b^2}=\frac{\mu_0 \vec{I} \times \vec{r_1}}{2\pi (b^2-a^2)}[/tex3] , e a do cilindro 2 é [tex3]\vec{B_2}=\frac{\mu_0 \vec{I_2} \times \vec{r_2}}{2\pi a^2}=-\frac{\mu_0 \vec{I} \times \vec{r_2}}{2\pi (b^2-a^2)}[/tex3] .
Portanto, o campo magnético no interior da cavidade é [tex3]\vec{B}=\vec{B_1}+\vec{B_2}=\frac{\mu_0}{2\pi (b^2-a^2)} \vec{I} \times (\vec{r_1}-\vec{r_2})=\frac{\mu_0 \vec{I} \times \vec{l}}{2\pi (b^2-a^2)}[/tex3] .
Portanto, o campo magnético é igual em todos os pontos da cavidade, possuindo módulo [tex3]B=\frac{\mu_0 I l}{2\pi(b^2-a^2)}[/tex3] e sentido definido por [tex3]\vec{I} \times \vec{l}[/tex3] . No caso do meu desenho, ele seria vertical para baixo.
Para [tex3]l=0[/tex3] , o campo é nulo, o que faz total sentido, pela simetria.
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