Física III ⇒ (FB) Resistores

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Na malha de resistores apresentada na figura a seguir, todos os resistores possuem a mesma resistência elétrica e estão inseridos, inicialmente, no plano do papel. Nesta condição é conectada pelas terminais A e C uma fonte de tensão constante. A malha então é submersa em um recipiente com água e, após um tempo t1, observa-se que o líquido entra em ebulição. Logo em seguida, após retirar a malha do líquido e desfazer a conexão da fonte de tensão com os terminais A e C, ligam-se espacialmente os pontos A, B, C e D, de forma que apareça um sólido de base quadrada EFGH. Nesta nova condição, a mesma fonte de tensão usada no primeiro experimento é conectada aos terminais E e F. O sólido então é submerso no mesmo recipiente com água utilizada no experimento anterior e, após um tempo t2, observa-se que o líquido entra em ebulição. Determine a relação existente entre os tempos t1 e t2.

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Resposta

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3,2

[παθμ]

Na primeira situação, vamos calcular a resistência equivalente entre A e D. Trace o plano de simetria que passa por B e D. Todos os pontos nesse plano terão o mesmo potencial, e uma das duas metades do circuito fica assim, onde [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

foi definido como a resistência de cada resistor.

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Note que, para os resistores que são atravessados pelo plano de simetria, nós os dividimos em dois resistores, cada um de resistência 1/2.

Chamei de B os pontos do plano de simetria, e chamei de B' os dois pontos acima que estão no mesmo potencial pela simetria.

Daí, a resistência de A a B' é [tex3]\frac{1}{2},[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2},[/tex3]

a resistência de B' a B é [tex3]\frac{1}{6}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{6}[/tex3]

(associação em paralelo de dois resistores 1 e dois resistores 1/2), e então a resistência de A a B é [tex3]\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3},[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3},[/tex3]

e portanto a resistência de A a D é [tex3]R_1=\frac{4}{3}.[/tex3]

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[tex3]R_1=\frac{4}{3}.[/tex3]

Agora, na segunda situação, os pontos A, B, C e D viram um só. Ademais, cada par de resistores de valor 1 que saía de cada vértice da base quadrada vira um resistor de valor 1/2, devido à associação em paralelo.

O circuito equivalente fica assim, com um plano de simetria:

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Com esse plano, dividimos o circuito em duas metades simétricas. Uma delas é desenhada abaixo, com dois pares de resistências em paralelo já identificados e simplificados: (defini C como o ponto correspondente ao potencial no plano)

fef4f6fa-4698-460a-bc7c-49589f7e7f8c.jpg (19.48 KiB) Exibido 255 vezes

Assim, a resistência de E a C fica uma associação em paralelo de uma resistência 1/4 com uma resistência 5/4, ou seja, o valor é [tex3]\frac{5/16}{6/4}=\frac{5}{24}.[/tex3]

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[tex3]\frac{5/16}{6/4}=\frac{5}{24}.[/tex3]

Assim, a resistência equivalente de E a F é [tex3]R_2=\frac{5}{12}.[/tex3]

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[tex3]R_2=\frac{5}{12}.[/tex3]

Sendo Q a quantidade de calor a ser fornecida para o líquido e sendo [tex3]P[/tex3]

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[tex3]P[/tex3]

a potência, temos [tex3]Q=Pt=\frac{V^2}{R}t \Longrightarrow t=\frac{QR}{V^2}.[/tex3]

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[tex3]Q=Pt=\frac{V^2}{R}t \Longrightarrow t=\frac{QR}{V^2}.[/tex3]

Então [tex3]t \propto R,[/tex3]

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[tex3]t \propto R,[/tex3]

e finalmente [tex3]\frac{t_1}{t_2}=\frac{4/3}{5/12}=\boxed{3,2}[/tex3]

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[tex3]\frac{t_1}{t_2}=\frac{4/3}{5/12}=\boxed{3,2}[/tex3]