Física II ⇒ (FB) Radiação do Corpo Negro

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Se [tex3]\mu [/tex3]

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[tex3]\mu [/tex3]

é densidade de energia da radiação de um corpo negro, mostre que a pressão da radiação é dada por P = mi/3

[παθμ]

A radiação de corpo negro são fótons, em uma determinada distribuição espectral. A questão quer que nós provemos que a pressão do gás de fótons é 1/3 da densidade de energia. Vou mostrar o jeito heurístico de se provar isso:

Considere um gás de fótons em uma caixa cúbica de lado [tex3]L.[/tex3]

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[tex3]L.[/tex3]

Um determinado fóton tem energia [tex3]\epsilon = pc,[/tex3]

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[tex3]\epsilon = pc,[/tex3]

onde [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

é seu momento linear.

Decompondo o momento linear quadrático médio em um dos 3 eixos, nós devemos obter [tex3]\frac{p}{\sqrt{3}},[/tex3]

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[tex3]\frac{p}{\sqrt{3}},[/tex3]

pois não existe eixo privilegiado. Da mesma forma, decompondo a velocidade em um dos 3 eixos, obtemos [tex3]\frac{c}{\sqrt{3}}.[/tex3]

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[tex3]\frac{c}{\sqrt{3}}.[/tex3]

Ou seja, há um intervalo de tempo de [tex3]\frac{2L}{c/\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}L}{c}[/tex3]

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[tex3]\frac{2L}{c/\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}L}{c}[/tex3]

entre duas colisões consecutivas do fóton com uma das paredes da caixa, e em cada colisão há uma transferência de momento linear igual a [tex3]\frac{2\sqrt{3}p}{3}.[/tex3]

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[tex3]\frac{2\sqrt{3}p}{3}.[/tex3]

Por isso, a força média que o fóton exerce em uma das faces da caixa é [tex3]\frac{2\sqrt{3}p/3}{2\sqrt{3}L/c}=\frac{pc}{3L},[/tex3]

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[tex3]\frac{2\sqrt{3}p/3}{2\sqrt{3}L/c}=\frac{pc}{3L},[/tex3]

daí a contribuição dele para a pressão na caixa é [tex3]\frac{pc}{3L^3}=\frac{pc}{3V}.[/tex3]

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[tex3]\frac{pc}{3L^3}=\frac{pc}{3V}.[/tex3]

Então, considerando todos os fótons, a pressão é [tex3]P=\frac{c}{3V} \sum p_i[/tex3]

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[tex3]P=\frac{c}{3V} \sum p_i[/tex3]

e a energia interna é [tex3]U=\sum \epsilon_i=c \sum p_i.[/tex3]

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[tex3]U=\sum \epsilon_i=c \sum p_i.[/tex3]

Ou seja, [tex3]P=\frac{U}{3V}.[/tex3]

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[tex3]P=\frac{U}{3V}.[/tex3]

Mas [tex3]\frac{U}{V}=\mu,[/tex3]

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[tex3]\frac{U}{V}=\mu,[/tex3]

daí [tex3]\boxed{P=\frac{\mu}{3}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{P=\frac{\mu}{3}}[/tex3]

Essa é a demonstração heurística, que usa apenas teoria cinética. A demonstração formal usa técnicas mais avançadas em termodinâmica para tratar os modos normais da radiação na caixa. Com a demonstração formal, nós conseguimos não só provar a relação pedida, mas também calcular todas as funções termodinâmicas do gás de fótons em função do volume e da temperatura.