Física II ⇒ (FB) Espectros atômicos

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Determine a energia do estado fundamental do positrônio.

Resposta

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-6,8eV

[παθμ]

A energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio é [tex3]E_1=-\frac{m}{2\hbar^2}\left(\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0}\right)^2 \approx -13,6 \; \text{eV},[/tex3]

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[tex3]E_1=-\frac{m}{2\hbar^2}\left(\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0}\right)^2 \approx -13,6 \; \text{eV},[/tex3]

onde "m" é a massa do elétron.

O positrônio consiste em um elétron e um pósitron (carga +e e massa m) se orbitando mutualmente, em torno do centro de massa. Para obter a energia do estado fundamental desse sistema, basta trocar o [tex3]m[/tex3]

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[tex3]m[/tex3]

da fórmula pela massa reduzida [tex3]\mu[/tex3]

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[tex3]\mu[/tex3]

do sistema, que é [tex3]\mu=\frac{m^2}{2m}=\frac{m}{2}.[/tex3]

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[tex3]\mu=\frac{m^2}{2m}=\frac{m}{2}.[/tex3]

Isso se deve ao fato de que a equação de Schrodinger para um par de partículas é separável em duas partes, uma correspondente ao "movimento" relativo das partículas e a outra correspondente ao "movimento" do centro de massa.

Como não há forças externas nesse sistema, a parte correspondente ao centro de massa fica igual à equação de uma partícula livre, e não precisamos nos preocupar com ela. Já na parte relativa, aparece a energia potencial [tex3]V(\vec{r}_1-\vec{r}_2)[/tex3]

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[tex3]V(\vec{r}_1-\vec{r}_2)[/tex3]

devido à interação entre as duas partículas, que é igual à energia de interação entre o elétron e próton, e a massa que aparece nessa equação é a massa reduzida. Por isso, essa equação realmente fica análoga à equação de Schrodinger para o átomo de hidrogênio, só que com a massa do elétron substituída pela massa reduzida.

Como [tex3]\mu=\frac{m}{2},[/tex3]

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[tex3]\mu=\frac{m}{2},[/tex3]

a energia pedida é [tex3]E_1'=\frac{E_1}{2}=\boxed{-6,8 \; \text{eV}}[/tex3]

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[tex3]E_1'=\frac{E_1}{2}=\boxed{-6,8 \; \text{eV}}[/tex3]