Física II ⇒ (FB) Dilatação Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Um cubo de coeficiente de dilatação linear [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

está flutuando em um líquido de coeficiente de dilatação volumétrica [tex3]\gamma [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\gamma [/tex3]

. Quando a temperatura aumenta de [tex3]\Delta T[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta T[/tex3]

, a profundidade na qual o cubo está submerso no líquido permanece a mesma. Determine a relação entre alfa e gama.

Dado: g = aceleração da gravidade

a) [tex3]\gamma =3\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\gamma =3\alpha [/tex3]

b) [tex3]\gamma =2\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\gamma =2\alpha [/tex3]

c) [tex3]\gamma =\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\gamma =\alpha [/tex3]

d) [tex3]\gamma =\alpha /2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\gamma =\alpha /2[/tex3]

e) [tex3]\gamma =\alpha / 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\gamma =\alpha / 4[/tex3]

Resposta

---

B

[Cobas]

Alguem pode resolver essa?

[παθμ]

Alguem pode resolver essa?

Cobas,

Antes do aumento de temperatura, seja [tex3]h[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h[/tex3]

o comprimento imerso do cubo, [tex3]A_c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_c[/tex3]

a sua área da face, [tex3]\rho_l[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rho_l[/tex3]

a densidade do líquido, [tex3]m_c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m_c[/tex3]

a massa do cubo.

Temos, pelo equilíbrio hidrostático: [tex3]hA_c \rho_lg=m_cg \Longrightarrow m_c=hA_c \rho_l.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]hA_c \rho_lg=m_cg \Longrightarrow m_c=hA_c \rho_l.[/tex3]

Após o aumento de temperatura, o volume do líquido agora é [tex3]V_l'=V_l(1+\gamma \Delta T)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_l'=V_l(1+\gamma \Delta T)[/tex3]

. Sua massa continua a mesma.

Assim, a nova densidade do líquido é [tex3]\rho_l'=\frac{m_l}{V_l'}=\frac{m_l}{V_l}\frac{1}{1+\gamma \Delta T}=\frac{\rho_l}{1+\gamma \Delta T}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rho_l'=\frac{m_l}{V_l'}=\frac{m_l}{V_l}\frac{1}{1+\gamma \Delta T}=\frac{\rho_l}{1+\gamma \Delta T}.[/tex3]

Além disso, a área da face do cubo agora é [tex3]A_c'=A_c(1+\beta \Delta T)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_c'=A_c(1+\beta \Delta T)[/tex3]

, onde [tex3]\beta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\beta[/tex3]

é o coeficiente de dilatação superficial.

Temos [tex3]\beta=2\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\beta=2\alpha[/tex3]

, logo [tex3]A_c'=A_c(1+2\alpha \Delta T).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_c'=A_c(1+2\alpha \Delta T).[/tex3]

(Se você fizesse [tex3]A_c'=a'^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_c'=a'^2[/tex3]

com [tex3]a'=a(1+\alpha \Delta T)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a'=a(1+\alpha \Delta T)[/tex3]

e fizesse uma aproximação em primeira ordem, obteria o mesmo resultado. Nesses problemas de dilatação linear, nós estamos sempre fazendo aproximações em primeira ordem, pois os efeitos da dilatação são muito pequenos).

Como o comprimento imerso do cubo permanece o mesmo, escrevemos [tex3]m_c=hA_c'\rho_l'\Longrightarrow m_c=hA_c\rho_l\frac{1+2\alpha \Delta T}{1+\gamma \Delta T}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m_c=hA_c'\rho_l'\Longrightarrow m_c=hA_c\rho_l\frac{1+2\alpha \Delta T}{1+\gamma \Delta T}.[/tex3]

Ou seja, concluímos que [tex3]\frac{1+2\alpha \Delta T}{1+\gamma \Delta T}=1.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1+2\alpha \Delta T}{1+\gamma \Delta T}=1.[/tex3]

Para que isso seja verdadeiro para qualquer variação de temperatura, devemos ter [tex3]\boxed{\gamma = 2\alpha}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\gamma = 2\alpha}[/tex3]

Alternativa B