Um corpo negro no formato esférico de raio R e massa M se encontra no interior de uma cavidade com vácuo dentro. As paredes são mantidas a T0. A temperatura inicial da esfera é 3T0. Se a capacidade calorífica do material da esfera varia como [tex3]\alpha [/tex3]
T3 por unidade de massa ([tex3]\alpha [/tex3]
é uma constante), determine em quanto tempo a temperatura da esfera vai alcançar 2T0.
Dado: Constante de Stefan Boltzmann=[tex3]\sigma[/tex3]
(a)[tex3]\frac{M\alpha }{4\pi R^{2}\sigma}\ln{\frac{3}{2}}[/tex3]
(b)[tex3]\frac{M\alpha }{4\pi R^{2}\sigma}\ln{\frac{16}{3}}[/tex3]
(c)[tex3]\frac{M\alpha }{16\pi R^{2}\sigma}\ln{\frac{16}{3}}[/tex3]
(d)[tex3]\frac{M\alpha }{16\pi R^{2}\sigma}\ln{\frac{3}{2}}[/tex3]
(e)[tex3]\frac{M\alpha }{32\pi R^{2}\sigma}\ln{\frac{3}{2}}[/tex3]
Não possuo o gabarito
Física II ⇒ Calorimetria Tópico resolvido
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Matheusrpb
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Jul 2020
04
19:21
Re: Calorimetria
Sabida, boa noite !
[tex3]I.[/tex3] Fluxo de energia na esfera pela Lei de Stefan-Boltzmann:
[tex3]P=\sigma \cdot A\cdot \(T_0^4-T^4\)[/tex3]
[tex3]P=4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)[/tex3]
[tex3]\frac{dE}{dt}=4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)[/tex3]
[tex3]\boxed{dE=4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)\cdot dt}[/tex3]
[tex3]II.[/tex3] Mas nós sabemos que:
[tex3]dE=M\cdot c\cdot dT[/tex3]
[tex3]4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)\cdot dt=M\cdot \alpha T^3\cdot dT[/tex3]
[tex3]dt=\frac{M\alpha}{4\pi R^2\sigma}\cdot \frac{T^3}{T_0^4-T^4}\cdot dT[/tex3]
[tex3]\int\limits^t_0dt=\frac{M\alpha}{4\pi R^2\sigma}\cdot \int\limits^{2T_0}_{3T_0}\frac{T^3}{T_0^4-T^4}\cdot dT[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição:
[tex3]T_0^4-T^4=u[/tex3]
[tex3]-4T^3\cdot dT=du \ \implies \ dT=-\frac{du}{4T^3}[/tex3]
[tex3]t=\frac{M\alpha}{4\pi R^2\sigma}\cdot \int\limits^{2T_0}_{3T_0}\frac{T^3}u\cdot \(-\frac{du}{4T^3}\)[/tex3]
[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot \int\limits^{2T_0}_{3T_0}\frac{du}u[/tex3]
[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\ln u \ \rightarrow \ u=T_0^4-T^4[/tex3]
[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\[\ln\(T_0^4-T^4\)\]^{2T_0}_{3T_0}[/tex3]
[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\[\ln\(16T_0^4-T_0^4\)-\ln\(81T_0^4-T_0^4\)\][/tex3]
[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\ln\(\frac{3}{16}\)[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{t=\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\ln\(\frac{16}3\)}}[/tex3]
[tex3]I.[/tex3] Fluxo de energia na esfera pela Lei de Stefan-Boltzmann:
[tex3]P=\sigma \cdot A\cdot \(T_0^4-T^4\)[/tex3]
[tex3]P=4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)[/tex3]
[tex3]\frac{dE}{dt}=4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)[/tex3]
[tex3]\boxed{dE=4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)\cdot dt}[/tex3]
[tex3]II.[/tex3] Mas nós sabemos que:
[tex3]dE=M\cdot c\cdot dT[/tex3]
[tex3]4\pi R^2\sigma\(T_0^4-T^4\)\cdot dt=M\cdot \alpha T^3\cdot dT[/tex3]
[tex3]dt=\frac{M\alpha}{4\pi R^2\sigma}\cdot \frac{T^3}{T_0^4-T^4}\cdot dT[/tex3]
[tex3]\int\limits^t_0dt=\frac{M\alpha}{4\pi R^2\sigma}\cdot \int\limits^{2T_0}_{3T_0}\frac{T^3}{T_0^4-T^4}\cdot dT[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição:
[tex3]T_0^4-T^4=u[/tex3]
[tex3]-4T^3\cdot dT=du \ \implies \ dT=-\frac{du}{4T^3}[/tex3]
[tex3]t=\frac{M\alpha}{4\pi R^2\sigma}\cdot \int\limits^{2T_0}_{3T_0}\frac{T^3}u\cdot \(-\frac{du}{4T^3}\)[/tex3]
[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot \int\limits^{2T_0}_{3T_0}\frac{du}u[/tex3]
[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\ln u \ \rightarrow \ u=T_0^4-T^4[/tex3]
[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\[\ln\(T_0^4-T^4\)\]^{2T_0}_{3T_0}[/tex3]
[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\[\ln\(16T_0^4-T_0^4\)-\ln\(81T_0^4-T_0^4\)\][/tex3]
[tex3]t=-\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\ln\(\frac{3}{16}\)[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{t=\frac{M\alpha}{16\pi R^2\sigma}\cdot\ln\(\frac{16}3\)}}[/tex3]
Por que você me deixa tão solto ? E se eu me interessar por alguém ?
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Sabida
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Jul 2020
04
20:33
Re: Calorimetria
Poderia me explicar o motivo de ser [tex3]-4T^3[/tex3]Matheusrpb escreveu: ↑04 Jul 2020, 19:21 [tex3]-4T^3\cdot dT=du \ \implies \ dT=-\frac{du}{4T^3}[/tex3]
Editado pela última vez por Sabida em 04 Jul 2020, 20:36, em um total de 1 vez.
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Deleted User 23699
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Abr 2021
10
16:08
Re: Calorimetria
Sabida
Ele quis achar a derivada da expressão de substituição
T_0 é uma constante então sumiu
Derivando -T^4 deu -4T³ dT
Por ser uma integral um pouco complexa a melhor saída era essa substituição que ele fez, pra ele poder substituir a expressão feia por simplesmente a integral de du/u
Ele quis achar a derivada da expressão de substituição
T_0 é uma constante então sumiu
Derivando -T^4 deu -4T³ dT
Por ser uma integral um pouco complexa a melhor saída era essa substituição que ele fez, pra ele poder substituir a expressão feia por simplesmente a integral de du/u
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