Física II ⇒ (Rufino) Óptica Geométrica Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Um homem de altura h está de pé à frente de um espelho plano que faz um ângulo theta com a horizontal. Considere que a distância dos olhos do homem ao topo de sua cabeça é pequena comparada a sua altura total. Determine o comprimento mínimo que deve ter o espelho para que o homem consiga ver a sua imagem inteira, sabendo que a distância horizontal dos olhos do homem ao espelho é d.

a) [tex3]dhsen^2\theta /(2dsen\theta +hcos\theta )[/tex3]

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[tex3]dhsen^2\theta /(2dsen\theta +hcos\theta )[/tex3]

b) [tex3]dhsen\theta /(dcos\theta +2hsen\theta )[/tex3]

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[tex3]dhsen\theta /(dcos\theta +2hsen\theta )[/tex3]

c) [tex3]dhsen^2\theta /2(dsen\theta+hcos\theta)[/tex3]

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[tex3]dhsen^2\theta /2(dsen\theta+hcos\theta)[/tex3]

d) [tex3]hsen\theta(dsen\theta+2hcos\theta)/(2dsen\theta+hcos\theta)[/tex3]

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[tex3]hsen\theta(dsen\theta+2hcos\theta)/(2dsen\theta+hcos\theta)[/tex3]

e) [tex3]hsen\theta(dsen\theta + 2hcos\theta)/2(dsen\theta+hcos\theta)[/tex3]

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[tex3]hsen\theta(dsen\theta + 2hcos\theta)/2(dsen\theta+hcos\theta)[/tex3]

Não possuo o gabarito

[A13235378]

Voce teria a figura da questão, pq queria saber se o espelho está inclinado para a esquerda ou para a direita.

[Deleted User 23699]

A13235378
A questão não tem figura

[A13235378]

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Olá,

Como a questao é muito ambigua , não sei se estará certo:

Vamos as representaçoes:

Linha azul (altura do homem)

Linhas vermelhas (raios limites que saem do pé e da cabeça da imagem e chegam até ao homem)

X = distancia da cabeça até o espelho

Angulos em verde = [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

Angulos em roxo = 90 - [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

A distancia entre os pés até o espelho é D.

I) Primeira passo , voce calcula X. Percebe-se que X é [tex3]Dsen\theta - Hcos\theta [/tex3]

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[tex3]Dsen\theta - Hcos\theta [/tex3]

II) Voce usa semelhança nos triangulos retangulos

[tex3]\frac{L}{X} = \frac{Hcos(90-\theta )}{2X + Hsen(90-\theta )}[/tex3]

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[tex3]\frac{L}{X} = \frac{Hcos(90-\theta )}{2X + Hsen(90-\theta )}[/tex3]

III) Substituindo X e isolando L

L= [tex3]\frac{Hsen\theta (Dsen\theta -Hcos\theta)}{(2Dsen\theta -Hcos\theta )}[/tex3]

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[tex3]\frac{Hsen\theta (Dsen\theta -Hcos\theta)}{(2Dsen\theta -Hcos\theta )}[/tex3]

Agora, como a questão é ambigua , creio que ele quer o tamanho até o chao. Com outras semelhanças voce soma com L para encontrar o total ou deixa assim mesmo, mas aí nao bateria o gabarito.

[παθμ]

Screenshot 2023-10-16 151520.png (175.21 KiB) Exibido 287 vezes

Seja [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

a distância perpendicular dos olhos do homem ao espelho. Então, [tex3]\sin(\theta)=\frac{D}{d} \Longrightarrow D=d\sin(\theta).[/tex3]

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[tex3]\sin(\theta)=\frac{D}{d} \Longrightarrow D=d\sin(\theta).[/tex3]

Rotacionando a perspectiva para deixar o espelho horizontal:

Screenshot 2023-10-16 151548.png (113.13 KiB) Exibido 287 vezes

Lembre-se que os dois "bastões" de comprimento [tex3]h[/tex3]

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[tex3]h[/tex3]

são simétricos em relação ao espelho.

A distância [tex3]L[/tex3]

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[tex3]L[/tex3]

que nós queremos está marcada acima. Quando nós traçamos os dois segmentos partindo do olho do observador, um indo até o olho da imagem e o outro até o pé da imagem, esses dois segmentos delimitam um comprimento [tex3]L[/tex3]

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[tex3]L[/tex3]

no espelho.

Note então a semelhança entre um triângulo retângulo de altura [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

e base [tex3]L,[/tex3]

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[tex3]L,[/tex3]

e outro de altura [tex3]2D+h \cos(\theta)[/tex3]

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[tex3]2D+h \cos(\theta)[/tex3]

e base [tex3]h \sin(\theta).[/tex3]

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[tex3]h \sin(\theta).[/tex3]

[tex3]\frac{D}{L}=\frac{2D+h\cos(\theta)}{h\sin(\theta)} \Longrightarrow L=\frac{Dh\sin(\theta)}{2D+h\cos(\theta)}=\boxed{\frac{hd\sin^2(\theta)}{2d\sin(\theta)+h\cos(\theta)}}[/tex3]

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[tex3]\frac{D}{L}=\frac{2D+h\cos(\theta)}{h\sin(\theta)} \Longrightarrow L=\frac{Dh\sin(\theta)}{2D+h\cos(\theta)}=\boxed{\frac{hd\sin^2(\theta)}{2d\sin(\theta)+h\cos(\theta)}}[/tex3]

Alternativa A