Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 2008) Combinação Tópico resolvido

[owen123]

Em uma classe de 16 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andreia, que vive brigando com 3 pessoas: Manoel, Alberto e Emilly.
Nesta turma, será organizada uma comissão de seis alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os
outros. Sabendo disso, responda:

a) Quantas comissões podem ser formadas?

[danjr5]

Olá owen123!

Em uma classe de 16 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andreia, que vive brigando com 3 pessoas: Manoel, Alberto e Emilly.
Nesta turma, será organizada uma comissão de seis alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os
outros. Sabendo disso, responda:

a) Quantas comissões podem ser formadas?

Considerando a exigência proposta, podemos solucionar a questão separando-a em duas condições: uma em que Andreia não figura na comissão e outra em que figura.

Condição I: Andreia não faz parte da comissão, então todos se dão bem. Portanto,

Decisão 1 [tex3]\mathtt{(d_1)}[/tex3]

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[tex3]\mathtt{(d_1)}[/tex3]

: combinar quinze alunos em grupos de seis. [tex3]\mathtt{\# d_1 = C_{15, 6}}[/tex3]

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[tex3]\mathtt{\# d_1 = C_{15, 6}}[/tex3]

.

Isto é,

[tex3]\mathtt{C_{15, 6} = \frac{15!}{6!(15 - 6)!} = \boxed{\mathtt{5005}}}[/tex3]

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[tex3]\mathtt{C_{15, 6} = \frac{15!}{6!(15 - 6)!} = \boxed{\mathtt{5005}}}[/tex3]

Condição II: Andreia faz parte da comissão, então Emilly, Alberto e Manoel devem ficar de fora. Daí,

Decisão 2 [tex3]\mathtt{(d_2)}[/tex3]

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[tex3]\mathtt{(d_2)}[/tex3]

: colocar Andreia na comissão. [tex3]\mathtt{\# d_2 = 1}[/tex3]

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[tex3]\mathtt{\# d_2 = 1}[/tex3]

;

Decisão 3 [tex3]\mathtt{(d_3)}[/tex3]

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[tex3]\mathtt{(d_3)}[/tex3]

: combinar os demais alunos, com exceção dos três alunos mencionados e da aluna escolhida em [tex3]\mathtt{d_2}[/tex3]

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[tex3]\mathtt{d_2}[/tex3]

, em grupos de cinco. [tex3]\mathtt{\# d_3 = C_{12, 5}}[/tex3]

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[tex3]\mathtt{\# d_3 = C_{12, 5}}[/tex3]

.

Então, pelo Princípio Multiplicativo (PM), temos:

[tex3]\\ \mathtt{1 \cdot C_{12, 5} = \frac{12!}{5!(12 - 5)!} = \boxed{\mathtt{792}}}[/tex3]

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[tex3]\\ \mathtt{1 \cdot C_{12, 5} = \frac{12!}{5!(12 - 5)!} = \boxed{\mathtt{792}}}[/tex3]

Por fim, pelo Princípio Aditivo (PA), concluímos que:

[tex3]\\ \mathtt{5005 + 792 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathtt{5797}}}[/tex3]

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[tex3]\\ \mathtt{5005 + 792 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathtt{5797}}}[/tex3]

Espero ter ajudado!

Bons estudos.