Pré-Vestibular ⇒ (UFPE) Equação Logarítmica Tópico resolvido

[Harison]

Se x e y são números reais positivos satisfazendo [tex3]\log_8 x + \log_4 y^2 = 6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_8 x + \log_4 y^2 = 6[/tex3]

e [tex3]\log_4 x^2 + \log_8 y
= 10[/tex3]

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[tex3]\log_4 x^2 + \log_8 y
= 10[/tex3]

, qual o valor de [tex3]\sqrt{xy}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{xy}[/tex3]

?

Resposta

---

41

[guila100]

o meu deu 64

fiz um sistema e pronto achei y e x

[Harison]

Poderia colocar a resolução passo a passo?

[guila100]

passo a passo não posso não mas posso dar uma luz pra voce

-- log x(na base 8 = a mesma coisa que 1/3 log x ( na base2)

-- log x^2( na base 4) = log x( na base 2)

e ai voce faz a mesma coisa pro resto

vo deixar o sistema e voce faz o resto
1/3log x(base 2) + logy(nabase2) = 6
log x(base 2) + 1/3 log y( na base 2) = 10

dai tu multiplica pra tirar a fração por 3

log x + 3logy = 18
3logx+logy = 30

pronto

ache o x e o y

[Harison]

Desculpe,mas ainda não consegui enteder o raciocínio

[guila100]

mano faz o sistema ali velho né possivel
multpilica por 3 emcima
diminui do de baixo

8logy= 24

logy(base 2) = 3

y = 2^3

logx+3.log 2^3 ( base2)= 18
logx+9=18

logx(base 2) = 9

x = 2^9

RAIZ DE XY = 2^9.2^3 = 2^12 tirando a raiz = 2^6 = 64

[Harison]

Desculpe,ainda não entendi

[Harison]

Poderia me ajudar nessa NathanMoreira?

[Harison]

Poderia me ajudar nessa csmarcelo?

[csmarcelo]

[tex3]\log_ac^b=b\log_ac[/tex3]

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[tex3]\log_ac^b=b\log_ac[/tex3]

[tex3]\log_a^bc=\frac{\log_ac}{b}[/tex3]

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[tex3]\log_a^bc=\frac{\log_ac}{b}[/tex3]

Com isso em mente, conseguimos deixar todos os logaritmos com base 2 e radicando [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

e [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

.

[tex3]\log_8x+\log_4y^2=6\therefore\log_{2^3}x+2\log_{2^2}y=6\therefore\frac{\log_2x}{3}+\frac{2\log_2y}{2}=6\therefore\log_2x+3\log_2y=18[/tex3]

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[tex3]\log_8x+\log_4y^2=6\therefore\log_{2^3}x+2\log_{2^2}y=6\therefore\frac{\log_2x}{3}+\frac{2\log_2y}{2}=6\therefore\log_2x+3\log_2y=18[/tex3]

[tex3]\log_4x^2+\log_8y=10\implies2\log_{2^2}x+\log_{2^3}y=10\implies\frac{2\log_2x}{2}+\frac{\log_2y}{3}=10\implies3\log_2x+\log_2y=30[/tex3]

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[tex3]\log_4x^2+\log_8y=10\implies2\log_{2^2}x+\log_{2^3}y=10\implies\frac{2\log_2x}{2}+\frac{\log_2y}{3}=10\implies3\log_2x+\log_2y=30[/tex3]

Isso dá o sistema

[tex3]\begin{cases}\log_2x+3\log_2y=18\\3\log_2x+\log_2y=30\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}\log_2x+3\log_2y=18\\3\log_2x+\log_2y=30\end{cases}[/tex3]

Multiplicando a segunda equação por -3

[tex3]\begin{cases}\log_2x+3\log_2y=18\\-9\log_2x-3\log_2y=-90\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}\log_2x+3\log_2y=18\\-9\log_2x-3\log_2y=-90\end{cases}[/tex3]

Somando os membros homólogos

[tex3]8\log_2x=72\therefore\log_2x=9[/tex3]

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[tex3]8\log_2x=72\therefore\log_2x=9[/tex3]

Com isso

[tex3]9+3\log_2y=18\therefore\log_2y=3\therefore y=2^3[/tex3]

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[tex3]9+3\log_2y=18\therefore\log_2y=3\therefore y=2^3[/tex3]

Logo,

[tex3]\sqrt{xy}=\sqrt{2^92^3}=\sqrt{2^{12}}=2^6=64[/tex3]

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[tex3]\sqrt{xy}=\sqrt{2^92^3}=\sqrt{2^{12}}=2^6=64[/tex3]