Pré-Vestibular ⇒ (UERJ 2018) Triângulos Tópico resolvido

[skulllsux189]

Os triângulos A1B1C1, AB2C2, A3B3C3, ilustrados abaixo, possuem perímetros p1, p2, p3, respectivamente. Os vértices desses triângulos, a partir do segundo, são os pontos médios dos lados do triângulo anterior.

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Admita que A1B1= B1C1= 7 e A1C1= 4. Assim, (p1, p2, p3) define a seguinte progressão

(A) aritmética de razão = – 8
(B) aritmética de razão = – 6
(C) geométrica de razão = 12
(D) geométrica de razão = 14

Resposta

---

gab:C

[jvmago]

Há duas propriedades interessantes :"Dado um triangulo ABC isósceles, o triangulo DEF formado pelos pontos médios também será isóceles." e se a primeira propriedade for verificada, "O quadriláteros com ponto médio no lado desigual será um logango cujo lado mede a metado dos lados congruos." Com isso vamos aplicar isso ao problema.

Pela segunda propriedade vemos que [tex3]B_2A_2=A_2B_1=B_2C_2=C_2B_1=\frac{7}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B_2A_2=A_2B_1=B_2C_2=C_2B_1=\frac{7}{2}[/tex3]

Por base média [tex3]C_2A_2=2[/tex3]

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[tex3]C_2A_2=2[/tex3]

[tex3]p1=18[/tex3]

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[tex3]p1=18[/tex3]

e [tex3]p2=9[/tex3]

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[tex3]p2=9[/tex3]

portanto a progressão será geométrica de razão [tex3]q=\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]q=\frac{1}{2}[/tex3]

[skulllsux189]

Há duas propriedades interessantes :"Dado um triangulo ABC isósceles, o triangulo DEF formado pelos pontos médios também será isóceles." e se a primeira propriedade for verificada, "O quadriláteros com ponto médio no lado desigual será um logango cujo lado mede a metado dos lados congruos." Com isso vamos aplicar isso ao problema.

Pela segunda propriedade vemos que [tex3]B_2A_2=A_2B_1=B_2C_2=C_2B_1=\frac{7}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B_2A_2=A_2B_1=B_2C_2=C_2B_1=\frac{7}{2}[/tex3]

Por base média [tex3]C_2A_2=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_2A_2=2[/tex3]

[tex3]p1=18[/tex3]

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[tex3]p1=18[/tex3]

e [tex3]p2=9[/tex3]

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[tex3]p2=9[/tex3]

portanto a progressão será geométrica de razão [tex3]q=\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]q=\frac{1}{2}[/tex3]

O quadriláteros com ponto médio no lado desigual será um logango cujo lado mede a metado dos lados congruos." Sobre essa parte no caso ali e losango, mas poderia ser qualquer quadrilatero tipo um quadrado coisa do tipo?.. Outra coisa nao me lembro dessa parte do losango base media, pq deu 2 ali?

[jvmago]

Há duas propriedades interessantes :"Dado um triangulo ABC isósceles, o triangulo DEF formado pelos pontos médios também será isóceles." e se a primeira propriedade for verificada, "O quadriláteros com ponto médio no lado desigual será um logango cujo lado mede a metado dos lados congruos." Com isso vamos aplicar isso ao problema.

Pela segunda propriedade vemos que [tex3]B_2A_2=A_2B_1=B_2C_2=C_2B_1=\frac{7}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B_2A_2=A_2B_1=B_2C_2=C_2B_1=\frac{7}{2}[/tex3]

Por base média [tex3]C_2A_2=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_2A_2=2[/tex3]

[tex3]p1=18[/tex3]

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[tex3]p1=18[/tex3]

e [tex3]p2=9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p2=9[/tex3]

portanto a progressão será geométrica de razão [tex3]q=\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]q=\frac{1}{2}[/tex3]

O quadriláteros com ponto médio no lado desigual será um logango cujo lado mede a metado dos lados congruos." Sobre essa parte no caso ali e losango, mas poderia ser qualquer quadrilatero tipo um quadrado coisa do tipo?.. Outra coisa nao me lembro dessa parte do losango base media, pq deu 2 ali?

Note que foi bem pontual, será sempre um losango. Você consegue provar isso da seguinte forma:

Chame os angulos da base maior de TETA e o do vértice de BETA.
Sabemos que a base média é paralela a base de referência então você só terá que ficar pondo os angulos e irá verificar tanto o losango quanto os 4 triangulos congruos. FORTE ABRAÇO

[jvmago]

Note também que [tex3]A_2C_2[/tex3]

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[tex3]A_2C_2[/tex3]

é base média de [tex3]A_1C_1[/tex3]

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[tex3]A_1C_1[/tex3]

e portanto [tex3]A_2C_2=4\2[/tex3]

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[tex3]A_2C_2=4\2[/tex3]

[MatheusBorges]

jvmago e skulllsux189, a razão de semelhança independe do valor dos lados do triângulo tomado como referência. Os vértices desses triângulos, a partir do segundo, são os pontos médios dos lados do triângulo anterior. É só lembrar que o novo triângulo formado sempre será semelhante, e que um lado qualquer de um é a metade do outro, pelo teorema da base média.

[jvmago]

jvmago e skulllsux189, a razão de semelhança independe do valor dos lados do triângulo. Os vértices desses triângulos, a partir do segundo, são os pontos médios dos lados do triângulo anterior. É só lembrar que os novos triângulos formas sempre serão semelhantes, e que um lado qualquer de um é a metade do outro, pelo teorema da base média.

lol nem me lembrava disso, fui direto por construção e esqueci essa saída