Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Geometria Plana Tópico resolvido

[adlernobre]

Na figura, ABCD é um quadrado de 6 cm de lado, M é o ponto médio do lado DC e A é ponto médio de PC.
Calcule a medida do segmento DN.

trab.jpg (12.2 KiB) Exibido 23590 vezes

[FilipeCaceres]

Olá adlernobre,

Para resolve basta aplicar o Teorema de Menelaus.

Veja que
[tex3]DM=MC=3\,cm[/tex3]

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[tex3]DM=MC=3\,cm[/tex3]

[tex3]AC=AP=3\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]AC=AP=3\sqrt{2}[/tex3]

, diagonal do quadrado.

Vamos chamar [tex3]AN=x[/tex3]

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[tex3]AN=x[/tex3]

então [tex3]DN=3-x[/tex3]

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[tex3]DN=3-x[/tex3]

Por Menelaus temos,
[tex3]\frac{CP}{AP}\cdot\frac{AN}{ND}\cdot\frac{DM}{MC}=1[/tex3]

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[tex3]\frac{CP}{AP}\cdot\frac{AN}{ND}\cdot\frac{DM}{MC}=1[/tex3]

[tex3]\frac{2\cdot \cancel{3\sqrt{2}}}{\cancel{3\sqrt{2}}}\cdot\frac{x}{3-x}\cdot\frac{\cancel{3}}{\cancel{3}}=1[/tex3]

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[tex3]\frac{2\cdot \cancel{3\sqrt{2}}}{\cancel{3\sqrt{2}}}\cdot\frac{x}{3-x}\cdot\frac{\cancel{3}}{\cancel{3}}=1[/tex3]

[tex3]2x=3-x[/tex3]

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[tex3]2x=3-x[/tex3]

[tex3]x=1[/tex3]

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[tex3]x=1[/tex3]

Portanto,
[tex3]DN=3-x=3-1[/tex3]

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[tex3]DN=3-x=3-1[/tex3]

[tex3]\boxed{DN=2\,cm}[/tex3]

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[tex3]\boxed{DN=2\,cm}[/tex3]

Abraço.

[PedroB]

Percebi um erro na solução, ao invez de DN = 3 - x o correto seria DN = 6 - x.

[manerinhu]

traçando MV paralelo a AC, teremos o triangulo retangulo e isosceles MDV, onde MV, hipotenusa, terá lado [tex3]3\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]3\sqrt{2}[/tex3]

DV vale 3 cm, de forma que VN vale x
a resposta aqui será dada por [tex3]R= 3+x[/tex3]

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[tex3]R= 3+x[/tex3]

o angulo MND e ANP são iguais (OPV)
MVN e NAP são iguais a 135
de forma que teremos dois triangulos semelhantes MVN e ANP
o lado AC é a diagonal do quadrado de lado 6, ou seja, tem medida igual a [tex3]6\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]6\sqrt{2}[/tex3]

, que é igual a AP
por semelhança
[tex3]\frac{AP}{MV} = \frac{VN}{NA}[/tex3]

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[tex3]\frac{AP}{MV} = \frac{VN}{NA}[/tex3]

[tex3]\frac{6\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{x}{a}[/tex3]

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[tex3]\frac{6\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{x}{a}[/tex3]

[tex3]a = \frac{x}{2}[/tex3]

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[tex3]a = \frac{x}{2}[/tex3]

mas [tex3]a + x = 3 => \frac{x}{2} + x = 3 => x = 2[/tex3]

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[tex3]a + x = 3 => \frac{x}{2} + x = 3 => x = 2[/tex3]

[tex3]R = 3+2 = 3+2 = 5[/tex3]

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[tex3]R = 3+2 = 3+2 = 5[/tex3]

[Radius]

Realmente a resolução do Caceres está com um erro situacional.

Veja que o segmento DN tem que ser entre 3 e 6, caso contrário a reta PM estaria voltada pra cima!!

A resposta será [tex3]DN=4[/tex3]

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[tex3]DN=4[/tex3]

[marcosIFusp]

Trace uma reta PD de forma que seja criado um triangulo PCD como os pontos A e M são medianas o encontro delas resulta em N (baricentro do triangulo PCD) o baricentro tem razão 1:2 e como DA vale 6 e existe a razão 1:2 logo DN=4 pois NA=2.