Pré-Vestibular

Mensagem não lidapor **gabrielifce** » 23 Abr 2012, 11:03

A função [tex3]f(x)= x^2 +bx +c[/tex3] , definida para qualquer valor real de [tex3]x[/tex3] , é nula para [tex3]x=r[/tex3] ou [tex3]x=3r[/tex3] . Determine [tex3]r[/tex3] sabendo-se que o valor minimo de f(x) é -9.

a) r=0 ou r=-1 ou r=1
b)r=3 ou r=-3
c)r=2
d)r=4 ou r=-4
e)r=9 ou r=-9

Resposta

RESP ITEM B

Veja, se a função é nula para [tex3]x=r \ ou \ x=3r[/tex3] , então $r \ 3r$ são as raizs da função. Substituindo-os na função temos:
$0=r^2+br+c$ $(I)$
$0=(3r)^2+b \cdot 3r+c \Longleftrightarrow 0=9r^2+3br+c$ $(II)$

Multiplicando $(I)$ por $(-1)$ e somando com $(II)$ , obtemos:
$8r^2+2br=0$ $(III)$

Por outro lado, a abscissa do vértice $(x_v)$ pode ser obtida por $x_v=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{r+3r}{2}=2r$ , lembrando que o eixo de simetria da parábola passa pela sua abscissa do vértice.

Então a ordenada do vértice (que é, nesse caso, o ponto de mínimo da parábola) $(y_v)$ pode ser obtida: $y_v=(x_v)^2+b \cdot x_v+c \Longrightarrow -9=(2r)^2+b \cdot 2r+c \Longleftrightarrow 4r^2+2br+c=-9$ $(IV)$ .

Multiplicando $(I)$ por $(-1)$ e somando com $(IV)$ , obtemos: $3r^2+br=-9$ $(V)$ .

Montando o sistema de equações com $(III) \ e \ (V)$ :
$\begin{cases}8r^2 +2br=0 \\ 3r^2+br=-9\end{cases}$

Multiplicando a segunda equação por $(-2)$ : $\begin{cases} 8r^2+2br=0 \\ -6r^2-2br=18\end{cases}$

Somando as duas eqauções membro a membro: $2r^2=18\Longleftrightarrow r^2=9 \Longleftrightarrow r=+3 \ ou \ r-3$

Espero ter ajudado.

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