a) a√3
b) a√2
c) (a√3)/2
d) (a√2)/2
e)(a√2)/4
Resposta
D
Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 2012) Geometria Espacial Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2022
12
06:58
(FUVEST - 2012) Geometria Espacial
Em um tetraedro regular de lado [tex3]a[/tex3]
, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a
a) a√3
b) a√2
c) (a√3)/2
d) (a√2)/2
e)(a√2)/4
D
Eu entendi a resolução, mas queria saber o que me garante que esses ângulos da figura são retos e não outros valores.
a) a√3
b) a√2
c) (a√3)/2
d) (a√2)/2
e)(a√2)/4
D
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Editado pela última vez por ALDRIN em 13 Jun 2022, 10:02, em um total de 1 vez.
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LostWalker
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Jun 2022
12
10:32
Re: (FUVEST - 2012) Geometria Espacial
Simetria
A garantia se dá justamente pela simetria. Quando lidamos com objetos espaciais, é normal usarmos linhas para medições, e elas acabam criando planos imaginários, da mesma forma que criam formas.
Seguindo essa ideia, pense no plano composto por [tex3]ABC[/tex3] , sabemos com certeza que, se traçarmos a reta [tex3]MC[/tex3] , o ponto [tex3]D[/tex3] acaba por se projetar em cima dessa reta (Ou seja, se você olhar de cima para o plano [tex3]ABC[/tex3] , verá que o ponto [tex3]D[/tex3] se projeta em cima de [tex3]MC[/tex3] , e já sabemos por simetria que [tex3]\angle AMC=\angle BMC=90^\circ[/tex3] (afinal, o triângulo [tex3]ABC[/tex3] é equilátero e a reta [tex3]CM[/tex3] o divide em dois triângulos retângulos).
Como [tex3]D[/tex3] está em [tex3]CM[/tex3] quando projetado no plano [tex3]ABC[/tex3] , então o recolocando na altura inicial, ele formará os ângulos de [tex3]\angle AMD=\angle BMD=90^\circ[/tex3] , provando assim que são retos.
A mesma ideia pode ser aplica para os ângulos retos em [tex3]N[/tex3] . Nos beneficiamos que o tetraedro e regular, o que nos garante que esses ângulos retos se encontram na medianas.
A garantia se dá justamente pela simetria. Quando lidamos com objetos espaciais, é normal usarmos linhas para medições, e elas acabam criando planos imaginários, da mesma forma que criam formas.
Seguindo essa ideia, pense no plano composto por [tex3]ABC[/tex3] , sabemos com certeza que, se traçarmos a reta [tex3]MC[/tex3] , o ponto [tex3]D[/tex3] acaba por se projetar em cima dessa reta (Ou seja, se você olhar de cima para o plano [tex3]ABC[/tex3] , verá que o ponto [tex3]D[/tex3] se projeta em cima de [tex3]MC[/tex3] , e já sabemos por simetria que [tex3]\angle AMC=\angle BMC=90^\circ[/tex3] (afinal, o triângulo [tex3]ABC[/tex3] é equilátero e a reta [tex3]CM[/tex3] o divide em dois triângulos retângulos).
Como [tex3]D[/tex3] está em [tex3]CM[/tex3] quando projetado no plano [tex3]ABC[/tex3] , então o recolocando na altura inicial, ele formará os ângulos de [tex3]\angle AMD=\angle BMD=90^\circ[/tex3] , provando assim que são retos.
A mesma ideia pode ser aplica para os ângulos retos em [tex3]N[/tex3] . Nos beneficiamos que o tetraedro e regular, o que nos garante que esses ângulos retos se encontram na medianas.
Editado pela última vez por LostWalker em 12 Jun 2022, 10:33, em um total de 1 vez.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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petras
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Jun 2022
12
10:52
Re: (FUVEST - 2012) Geometria Espacial
ÁguiaB,
Segue a visão espacial que fica mais fácil de entender
ABN é isósceles. nm é o segmento que une o vértice ao ponto médio da base portanto será a altura , consequentemente será uma perpendicular.
O mesmo vale para An no triângulo ACD que é equilátero
Segue a visão espacial que fica mais fácil de entender
ABN é isósceles. nm é o segmento que une o vértice ao ponto médio da base portanto será a altura , consequentemente será uma perpendicular.
O mesmo vale para An no triângulo ACD que é equilátero
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