Pré-Vestibular ⇒ ACAFE 2015 - Geometria Espacial Tópico resolvido

[AnnaKatarina]

Considere dois tanques de água, um na forma de um cilindro reto e o outro na forma cônica de eixo vertical e vértice para baixo. Os dois tanques
possuem altura h e raio r e o tanque de forma cônica tem capacidade para 14.000 litros de água.

Analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta.

l. A capacidade dos dois tanques juntos é maior que a de outro cujo formato interno é de umcubo de 4 metros de aresta.

ll. Se a água dentro dos tanques ocupa 20% de suas alturas, então, a razão entre os volumes do tanque cilíndrico e do tanque cônico é 75.

lll. Sabendo que o tanque cônico é seccionado por um plano paralelo à sua base no ponto médio de sua altura, e que esta secção determina um outro cone de volume v1 e um tronco de cone, o volume do tronco de cone assim obtido é 7v1.

lV. Suponha que o tanque cônico tenha 20 metros de altura e se encontrava completamente cheio de água (14.000 litros). Por causa de um vazamento a água baixou 2 metros de sua altura. Consertado o vazamento, o volume de água contido no tanque é, então, de 12.600 litros.

a) Apenas as informações I e II são corretas;

b) As iformações II, III e IV estão corretas;

c) Apenas informações II e III são corretas;

d) Somente a informação IV está correta.

Estou bem perdida nessa questão, não sei como resolver as três últimas e os meus cáculso deram que a I é verdadeira, alguém pode me dar uma ajudinha, por favor???

Resposta

---

C

[petras]

AnnaKatarina,

!) [tex3]V_{co}\frac{\pi r^2h}{3}=14m^3\rightarrow \pi r^2h=42m^3\\
V_{ci}=\pi r^2h = 42\\
V_{co}+V_{ci}=42+14=56m^3\\
V_{cubo}=4^3=64m^3 > 56 m^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_{co}\frac{\pi r^2h}{3}=14m^3\rightarrow \pi r^2h=42m^3\\
V_{ci}=\pi r^2h = 42\\
V_{co}+V_{ci}=42+14=56m^3\\
V_{cubo}=4^3=64m^3 > 56 m^3[/tex3]

II) água ocupa 20% da altura então 1/5 de H.
Vcil = 42.000 x 1/5 = 8.400L.
Volume do cone: [tex3]\frac{V}{v}= \frac{H}{h}^3\rightarrow \frac{14000}{v}= (\frac{H}{\frac{H}{5}})^3\\
\therefore v = 112l\rightarrow
\frac{V}{v}=\frac{8400}{112}= 75[/tex3]

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[tex3]\frac{V}{v}= \frac{H}{h}^3\rightarrow \frac{14000}{v}= (\frac{H}{\frac{H}{5}})^3\\
\therefore v = 112l\rightarrow
\frac{V}{v}=\frac{8400}{112}= 75[/tex3]

III) V = volume do cone maior, v1 = volume do cone formado, vt = volume tronco
[tex3]v_t=V-v_1\\
\frac{V}{v_1}=\left(\frac{h}{\frac{h}{2}}\right)^3=8 \therefore V = 8v_1 \\
v_t = 8v_1-v_1=7v_1[/tex3]

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[tex3]v_t=V-v_1\\
\frac{V}{v_1}=\left(\frac{h}{\frac{h}{2}}\right)^3=8 \therefore V = 8v_1 \\
v_t = 8v_1-v_1=7v_1[/tex3]

IV) [tex3]\frac{V}{v}=\left(\frac{H}{h}\right)^3\rightarrow \frac{14}{v}=\left(\frac{20}{18}\right)^3\therefore \therefore v = 10,206 m^3=10.206l[/tex3]

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[tex3]\frac{V}{v}=\left(\frac{H}{h}\right)^3\rightarrow \frac{14}{v}=\left(\frac{20}{18}\right)^3\therefore \therefore v = 10,206 m^3=10.206l[/tex3]