Aqui ficará uma coletânea de questões antigas, com mais de 1 ano, que não foram respondidas ainda. Não é possível postar novas questões nesse fórum, apenas é possível resolver as que forem movidas para cá pelos moderadores.
Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...
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Solução do problema 81
sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)
a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...
Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .
Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...
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Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...
Problema Proposto
47 - No triângulo ABC, a razão dos quadrados
dos lados AC e AB é igual a razão das projeções destes lados
sobre o lado BC. Calcular \angle ABC , se \angle BCA = 80^o
Problema Proposto
35 - O triângulo ABC se encontra inscrito em uma circunferencia;
a mediatriz de AB intercepta em M a BC e em N o prolongamento de AC.
Calcular \angle OCB , se O é centro da...
Problema Proposto
46 - Na circunferência de diámetro AB,
se traça a corda PQ perpendicular a AB no ponto 'R ,
sobre o arco AQ se toma o ponto U tal que PU intercepta
a AB e AQ em S e T...
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SAs é bissetriz no △PAT
\frac{PS}{TS}=\frac{AP}{AT}\\
△TAP\sim△TUQ \implies \frac{AP}{AT}=\frac{UQ}{UT}\\
Equacionando: \frac{PS}{TS}=\frac{UQ}{UT}\implies PS⋅TU=UQ⋅TS
\therefore...
Problema Proposto
38 - O trapézio ABCD, (AB || CD ) está inscrito
em uma circunfêrencia. P é um ponto do
arco CD; se PD = 8; PB = 16 y PC= 12,
Calcular PM, se AP \cap DC = M.
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Se o trapézio é inscritível, então ele é isósceles (AD = BC)
Assim marquei os ângulos x . Eles são congruentes porque os arcos menores AD e BC são congruentes, já que os lados do trapézio são...
Problema Proposto
36 - Na figura, as retas L1, L2 e L3 são retas
de Simpson traçadas a partir dos pontos P, Q e T respectivamente ..
Se PQ = 6, QT = 9 e MN = 4, calcular ML
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Propriedade: O ângulo entre 2 retas de Simsom de 2 pontos P e P' é igual à metade do arco menor PP'.
Os triângulos PQT e LMN são semelhantes nessa ordem, então:
\frac{QT}{MN} =...
Problema Proposto
20 -O ângulo B de um triângulo ABC mede 60 o .
Em seu interior está localizado o ponto P tal que PA + PB + PC seja mínimo;
Seja I, e l 1 , centros dos triângulos ABP e BPC...
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O ponto P é o ponto de Fermat (
I ~e~ I_1 ~são ~incentros △APB ~e ~ △BPC\\
Como ~ MI \parallel BP, I ~é ~incentro \implies \frac{BM}{MX}=\frac{PI}{IX}=\frac{BP}{BX}\\
Problema Proposto
28 - No triângulo acutângulo ABC de ortocentro H, se traça a bissetriz interior BD.
Por D se levanta uma perpendicular a AC, a qual intercepta em Q a HC e em P ao
prolongamento de...
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T. Bissetriz: \triangle ABC - BD:\\\frac{6}{9} =\frac{AB}{BC}\implies \frac{2}{3} = \frac{AB}{BC} \\\angle A = 90^o-c = \angle DQC\\\therefore \angle PQH = 90-c = \angle A \implies\\\triangle PQH...
Problema Proposto
31 - O ângulo C de um triângulo ABC mede 53º.
Se traçam : BH \perp AC, HL \perp BC ~e~ LQ \perp AB ;
Se QL \cap BH = M , calcular MH, se AC= 25.
Problema Proposto
27 - No triángulo acutángulo ABC; M, N e P são
pontos médios de AB, BC e AC respectivamente. Se H e O são o
ortocentro e o circuncentro deste triángulo e também L é ponto
médio de...
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∠HAC=90^∘−\angle C. \\
∠ONM=90^∘−\angle C. \\
\angle MNO = \angle CAH\\
\angle OMN=90^o - \angle A = \angle HCA\implies
△AHC∼△NOM\\ \therefore \boxed{\color{red}\frac{HP}{OL}=\frac{AC}{NM}=2}...
Problema Proposto
32 - Na figura MN é diâmetro, AB = 8 e CD= 10.
Calcular AD.
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chame a semi-circunferência de \omega e seu centro de O
P = AB \cap CD
T_a = \omega \cap AB
T_d = \omega \cap CD
\Delta AT_aO \equiv \Delta DT_dO\implies AO = OD
O é o centro da ex-inscrita...
Problema Proposto
24 - No triángulo retángulo ABC,reto em B
se traça a altura BH. Sejam P e Q os incentros dos triángulos AHB e BHC,
PQ intercepta em E a BH, sendo \frac{BE}{EH}= 5 \sqrt 2 , o...
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∠PHQ=90^∘,\text{HE é sua bissetriz e o incentro (I) de △PHQ deve estar no segmento HE}\\
PM=MH=r_1, QN=NH=r_2 \implies PH=r_1\sqrt2, ~QH=r_2\sqrt2.\\
△AHB∼△BHC(t.retângulos), \text{seus inraios devem...
Problema Proposto
30 - Na figura AB é diâmetro, PM = MH e PN = NB.
Se PEB = 108º. calculcar x.
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Prolongando NM até interceptar PA em D. D é ponto médio de PA.
No triângulo PAN, temos as cevianas ND, PO,e AR que são concorrentes em M.
Aplicando o Teorema de Ceva no △PAN, teremos:...
Problema Proposto
29 - Na figura ABCD é um quadrado e AG=GF
Calcular x
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AG e GF são quaisquer. Em particular, tome AG sobre AB e GF será paralelo a BC. É fácil ver que a extensão de BG irá interceptar a extensão de CF em A, de modo que x é metade do ângulo do quadrado:...
Problema Proposto
26 - Na figura o triângulo ABC é escaleno.
Calcular \frac{BF}{BQ}
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Perpendicular ~a~BC~por ~D: cos \alpha = \frac{\frac{BC}{2}} x \implies BC = 2x.\cos(\alpha)\\
De ~modo~similar: AC=2y.\cos\alpha\\
\frac{AC}{BC}=\frac{2y.\cos\alpha}{2x.\cos\alpha}=\frac{y}{x}\\...
Problema Proposto
25 - Na figura AB = BC, PB = 1, PA = \sqrt{6} e
PC= 2 \sqrt{2} . Calcular x.
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Por geometria plana, aqui aplicamos a famosa ideia de encaixar um triângulo no outro.
Perceba o seguinte: se encaixarmos o triângulo ABP do lado do triângulo PBC, formaremos o quadrilátero PBP'C....
Problema Proposto
22 - No triángulo acutángulo ABC, O é
o circuncentro. A mediatriz de AC intercepta
em P a BC e em Q o prolongamento de AB.
Se OP = 4 e PQ = 5. Calcular: OC.
Problema Proposto
21 - Na figura, ABCD é um quadrado de lado 3.
Calcular CF, se AN = 3CM.
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Os ângulos DCF e DAF são congruentes, pois os dois subtem o arco FD.
Os Ângulos BDC e AFB são congruentes pois o arco AB e BC são iguais.
Os Ângulos AFB e MFC são complementares: MFC= 90-AFB .
Os...
Problema Proposto
15 - No triângulo ABC se traça a ceviana BD e a mediana CM;
a bissetriz do \angle BCM bisseca em N a BD.
Calcular \angle ABD se AD=2, DC= 1 e BC= \sqrt{3}
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T. Menelao:
\frac{AC}{CD}⋅\frac{DN}{NB}\frac{⋅BE}{EA} \implies EA=3BE\\
EM+MA=3BM−3EM.
\\Como ~BM=MA, BM=2EM \implies E ~é~ponto~médio ~de~ BM.\\
Como~ CE ~é~bissetriz, BC= CM =–\sqrt3 ~e~ CE \perp...
Problema Proposto
11 - Na circunferência de centro O e diâmetros
perpendiculares AC e BD se traça a corda AE (E em BC)
tal que AE intercepta BD em M; se BM = MO.
Calcular ON, se OA = 12. ( ED \cap...
