Suponha que n é um inteiro positivo e d é um dígito na base 10. Calcule n se

\frac{n}{810}\,=\,0,d25d25d25\ldots

Ache a soma de todas as frações positivas, irredutíveis, menores do que 1 e da forma \frac{n}{2005}, onde n é um inteiro.

Determinar o menor inteiro n tal que 9n se escreve com os mesmos algarismos de n, na ordem inversa.

Determinar todos os primos que dividem 50!

Determinar a maior potência de 14 que divide 100!

Expressar o número 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo, por 11.

Certo senhor, ao descontar um cheque em seu banco, recebeu, sem notar, o número de reais trocados pelo número de centavos e vice-versa. Em seguida, gastou 68 centavos e observou, supreso, que tinha o...

Resolver o sistema de equações:

\begin{cases}x_1+ 2x_2+ 3x_3 + 4x_4 + \cdots + nx_n = a_1\\
nx_1+ x_2 + 2x_3 +3x_4 + \cdots +(n-1)x_n = a_2\\
(n-1)x_1 + nx_2 + x_3 +2x_4 + \cdots +(n-2)x_n = a_3\\...

Dizemos que um número é observador de primos se é composto mas não é divisível por 2,\text{ } 3 ou 5. Por exemplo, 49,\text{ } 77 e 91 são observadores de primos. Sabendo que existem 168 números...

Dizemos que um número natural é teimoso se ao ser elevado a qualquer expoente inteiro positivo, termina com o mesmo algarismo. Por exemplo, 10 é teimoso, pois, 10^2,\, 10^3,\,10^4,\,\cdots, são...

Determine todos os inteiros n para os quais n^4\,-\,4n^3\,+\,14n^2\,-\,20n\,+\,10 é um quadrado perfeito.

Um número inteiro é chamado formidável se ele pode ser escrito como uma soma de duas potências distintas de 4, e é dito bem sucedido se ele pode ser escrito como uma soma de duas potências distintas...

Dizemos que um número natural é composto quando pode ser escrito como produto de dois números naturais maiores que 1, assim por exemplo 91 é composto podemos escrevê-lo 91=7\times 13 .
Mostre que o...

Um inteiro positivo é dito ascendente, se sua representação decimal tem pelo menos 2 algarismos, e cada um deles é menor que todos os algarismos situados à sua direita. O número de inteiros positivos...

Um número é chamado de sortudo , se após efetuarmos repetidas vezes a soma dos quadrados dos algarismos de cada número que for obtido, obtivermos no final o número 1. Por exemplo, 1900 é sortudo:...

Dizemos que um número natural n é sensato se existe um inteiro r, com 1 Por exemplo, 62, e 15 são sensatos, já que 62 é...

Considere dois números naturais, cada um deles com tres algarismos diferentes. o maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares.
O menor valor possível para a diferença entre...

Quadradinhos iguais estão arrumados formando um tabuleiro n \times n. Ludmilson e Ednalva jogam o seguinte estranho jogo. Cada jogada de Ludmilson consiste em retirar 4 quadradinhos que formem um...

Considere a tabela a seguir com quatro linhas (fileiras horizontais) e quatro colunas (fileiras verticais) a qual está preenchida com números naturais, ocorrendo repetições de números:

Ao...

Seja ABC um triângulo e O seu circuncentro. Seja ainda P a intersecção das retas BO e AC e S a circunferência circunscrita a AOP. Suponha que BO = AP e que a medida do arco OP em S que não contém A é...

ABCD é um quadrilátero convexo e inscritível e M é um ponto sobre o lado CD, tal que o triângulo ADM e o quadrilátero ABCM têm a mesma área e o mesmo perímetro. Prove que ABCD tem dois lados de...

( IMO - 2003) Determine todos os pares de inteiros positivos (a,\,b) tais que,

\Large\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}\large

é um inteiro positivo.

Um garrafão contém p litros de vinho. Retirando um litro de vinho do garrafão e acrecentando um litro de água, obtemos uma mistura homogênea. Retira-se a seguir, um litro da mistura e acrescenta-se...

Um número inteiro chama-se autodivi se é divisível pelo número de dois algarismos formado por seus dois útimos dígitos (dezena e unidade).
Por exemplo, 78013 é autodivi pois é divisível por 13, 8517...

Um número é dito palíndromo se o inteiro obtido ao invertermos a sequência dos algarismos de n for iqual a n.
O ano de 1991 é um dos anos do século XX com as seguintes propriedades:

i) Ele é um...

Um número natural de 10 algarismos distintos é dito mágico se ele for múltiplo de 99999. Quantos números mágicos não começados por zero existem?