Logaritmos - Propriedades Operatórias
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Historicamente, o logaritmo foi inventado para facilitar os cálculos na matemática antiga, onde não existia calculadora.

Ele traz a facilidade de transformar uma multiplicação em uma soma.

Imagina você, sem calculadora, tendo que fazer a multiplicação de dois números grandes! Não seria mais fácil somá-los? Ou ter a posse de dois números que, somados, dão o mesmo resultado que o produto desejado?

Pois é, estas propriedades mostradas aqui servem pra isso.

Essa facilidade (de transformar produto em soma) é chamada de PROSTAFÉRESE.

Veja as propriedades abaixo:

1°Propriedade:

Aqui temos a Prostaférese. Veja que do lado esquerdo da igualdade temos log de uma multiplicação, e na direita uma soma de logs.

Para provar essa propriedade não é tão difícil. Tente acompanhar o raciocínio. Faz de conta que temos um número x que é a soma de dois logaritmos que estão na mesma base b:

Se temos esta igualdade, podemos colocar a mesma base b dos dois lados como potenciação:

Agora a gente pode aplicar a propriedade de potenciação:

E agora aplicar a 4° conseqüência, estudada no capítulo anterior:

E ficamos com:

Agora aplicamos a equivalência fundamental: e chegamos no valor que queríamos demonstrar.


2° Propriedade:

Esta é quase a mesma coisa que a anterior, mas em vez de multiplicação temos a divisão e no lugar da soma vira subtração. A demonstração é extremamente parecida com a 1° propriedade. Tente demonstrar você, siga os passos da anterior.


3° Propriedade:

Esta propriedade é uma "extensão" da primeira. Veja o exemplo abaixo com o expoente 2:

sabemos que

agora aplicamos a primeira propriedade

Poderíamos ter saído da primeira linha diretamente para a última, essa é a facilidade de saber esta propriedade.

Uma maneira de visualizar esta propriedade, e tentar decorá-la mais facilmente, é imaginando a figura abaixo:


Veja algumas aplicações:

(UFRGS) A raiz da equação é

     (A) 6
     (B) 3,5
     (C)
     (D)
     (E)

Começamos aplicando a volta da equivalência fundamental:

Agora vemos que esta resposta não está nas alternativas. Portanto, devemos fatorar o 12:

Aplicamos a 1° Propriedade Operatória

Mas o sabemos que vale 2. Portanto:

Resposta correta, letra "E".


(UCS) Se e , então vale

     (A)
     (B)
     (C)
     (D)

     (E)

Este tipo de questão é clássico nos vestibulares do Brasil. Peguei este exemplo pois não possui muita dificuldade.

Começamos fatorando sempre o logaritmo pedido, neste caso o 12.

Agora devemos aplicar as propriedades operatórias:

E substituímos os valores dados no enunciado:

2a+b, Resposta correta, letra "B".

 

asdf

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