Com a idéia básica vista nos dois capítulos anteriores podemos dar mais um passo. Agora sim em direção a uma matéria que já pode ser cobrada no vestibular (ah, mas mesmo a matéria anterior não sendo cobrada diretamente, é necessário sabê-la para compreender esta aqui e as posteriores).
Lembrando que o logaritmo é um expoente, podemos enunciar a equivalência fundamental dos logaritmos:
EQUIVALÊNCIA FUNDAMENTAL |
Note que temos, na expressão acima, exatamente as duas maneiras de mostrar a pergunta feita no início do estudo de logaritmos: "Qual o expoente x que devemos elevar a base b para
resultar N". |
Esta equivalência é muito
importante, pois muitos exercícios sobre logaritmos necessitam dela para sua resolução.
Veja, que, a flecha indicada nessa propriedade está nos dois sentidos, ou seja, você
pode transformar logaritmo em exponencial e exponencial em logaritmos.
Vamos dar um exemplo de cada:
Ex. 1 - Qual o logaritmo de 216 na base 6?
Em outras palavras, podemos escrever esta
pergunta como:
Onde x é o valor procurado, ou seja, o
logaritmo elucidado no enunciado.
Agora, para resolver, aplicamos a
equivalência fundamental:
Caímos em uma exponencial, para resolver
devemos igualar as bases (como visto na lição anterior). Fatorando o .
Cortando as bases
Portanto, log6 216 = 3 |
Ex. 2 - Qual o valor de "x" na equação ?
Estamos perguntando: "Qual o expoente x que devemos
elevar a base 5 para resultar 6 ?". Aplicando a "volta" da equivalência
fundamental podemos escrever esta igualdade como sendo:
Este é o valor de x |
Ex. 2 (UFRGS) A forma exponencial da igualdade é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Esta é só aplicar a equivalência fundamental.
Resposta correta, letra "B". |
Veja agora alguns exemplos de aplicação da equivalência fundamental:
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Este é o
logaritmo que queremos saber. Primeiro de tudo devemos igualar a "x". |
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Agora é só
usar a equivalência fundamental |
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Caímos em
uma equação exponencial. Vamos fatorar! |
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Bases igualada é só cortar. |
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Esta é a resposta: |
Mais um exemplo:
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Sempre, o que devemos fazer primeiro é
igualar a "x". |
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Aplicando a equivalência fundamental. |
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Esta é uma exponencial. Fatorando. |
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Cortando as bases |
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Esta é a resposta: |
Mais um exemplo nunca é demais:
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Igualando a "x". |
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Aplicando a equivalência fundamental. |
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Agora para facilitar o cálculo, vamos
transformar o número decimal em fração e fatorar o que der. |
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Aplicando as propriedades de potenciação. |
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Cortando as bases. |
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Esta é a resposta: |
Esta é a técnica para se calcular o valor
do logaritmo de algum número em uma base definida. Na próxima página há alguns
exercícios para você resolver e comparar com a nossa resolução.
Veja no próximo
tópico as propriedades fundamentais de logaritmo para cálculo de equações.
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