Logaritmos - Equivalência Fundamental
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Com a idéia básica vista nos dois capítulos anteriores podemos dar mais um passo. Agora sim em direção a uma matéria que já pode ser cobrada no vestibular (ah, mas mesmo a matéria anterior não sendo cobrada diretamente, é necessário sabê-la para compreender esta aqui e as posteriores).

Lembrando que o logaritmo é um expoente, podemos enunciar a equivalência fundamental dos logaritmos:

EQUIVALÊNCIA FUNDAMENTAL

Note que temos, na expressão acima, exatamente as duas maneiras de mostrar a pergunta feita no início do estudo de logaritmos: "Qual o expoente x que devemos elevar a base b para resultar N".

Esta equivalência é muito importante, pois muitos exercícios sobre logaritmos necessitam dela para sua resolução. Veja, que, a flecha indicada nessa propriedade está nos dois sentidos, ou seja, você pode transformar logaritmo em exponencial e exponencial em logaritmos.

Vamos dar um exemplo de cada:


Ex. 1 - Qual o logaritmo de 216 na base 6?

Em outras palavras, podemos escrever esta pergunta como:

Onde x é o valor procurado, ou seja, o logaritmo elucidado no enunciado.

Agora, para resolver, aplicamos a equivalência fundamental:

Caímos em uma exponencial, para resolver devemos igualar as bases (como visto na lição anterior). Fatorando o .

    Cortando as bases
      Portanto, log6 216 = 3


Ex. 2 - Qual o valor de "x" na equação ?

Estamos perguntando: "Qual o expoente x que devemos elevar a base 5 para resultar 6 ?". Aplicando a "volta" da equivalência fundamental podemos escrever esta igualdade como sendo:

Este é o valor de x


Ex. 2 (UFRGS) A forma exponencial da igualdade é:

     (A)
     (B)
     (C)
     (D)
     (E)

Esta é só aplicar a equivalência fundamental.

Resposta correta, letra "B".


Veja agora alguns exemplos de aplicação da equivalência fundamental:

Este é o logaritmo que queremos saber. Primeiro de tudo devemos igualar a "x".

Agora é só usar a equivalência fundamental

Caímos em uma equação exponencial. Vamos fatorar!

Bases igualada é só cortar.

Esta é a resposta:

Mais um exemplo:

Sempre, o que devemos fazer primeiro é igualar a "x".

Aplicando a equivalência fundamental.

Esta é uma exponencial. Fatorando.

Cortando as bases

Esta é a resposta:

Mais um exemplo nunca é demais:

Igualando a "x".

Aplicando a equivalência fundamental.

Agora para facilitar o cálculo, vamos transformar o número decimal em fração e fatorar o que der.

Aplicando as propriedades de potenciação.

Cortando as bases.

Esta é a resposta:

Esta é a técnica para se calcular o valor do logaritmo de algum número em uma base definida. Na próxima página há alguns exercícios para você resolver e comparar com a nossa resolução.

Veja no próximo tópico as propriedades fundamentais de logaritmo para cálculo de equações.

 

asdf

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