Progressões Geométricas - Exercícios (Resolução)

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1) O valor positivo de x que torna a sucessão $formdata=\left(\frac+12,\,\,\,x,\,\,\,\frac+98\right)$ uma PG é

(A) $formdata=\frac{1}{2}$

(B) $formdata=\frac+14$

(C) $formdata=\frac+32$

(D) $formdata=\frac+34$

(E) $formdata=\frac+38$

- Vamos usar a propriedade fundamental de uma PG para calcular o valor de "x".

$formdata=\frac{\,\,x\,\,}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{9}{8}}{\,\,x\,\,}$

$formdata=2x=\frac{9}{8x}$

$formdata=16x^2=9$

$formdata=x^2=\frac{9}{16}$

$formdata=x=\pm\sqrt{\frac{9}{16}}$

$formdata=x=\pm\frac{3}{4}$ Como o exercício pede só o valor positivo, a resposta é letra "D".

2) (UFRGS) Numa PG de raz�o positiva, o primeiro termo � igual ao dobro da raz�o, e a soma dos dois primeiros � 24. Nessa progress�o a raz�o �

    (A) 1
    (B) 2
    (C) 3
    (D) 4
    (E) 5

- As informações do problema são:
a₁=2q S₂=24 q=?

- Sabemos que S₂=a₁+a₂ e iremos trabalhar em cima disto. Usando a fórmula do termo geral para o segundo termo, temos:
    a₂=a₁·q   Vamos substituir o valor de a₁ por 2q.
    a₂=2q·q
    a₂=2q²

- Voltando à nossa fórmula de trabalho:
    S₂=a₁+a₂     Vamos substituir os valores conhecidos
    24=2q+2q²
    2q+2q²-24=0    Chegamos numa equação do segundo grau, usando Bhaskara:
    q'=3    q''=-4      Como o exercício diz que a razão é positiva,
                               Resposta certa, letra "C".

3) O valor de x para que a seq��ncia $formdata=(x+1,\,\,x,\,\,x+2)$ seja uma PG �

(A) $formdata=\frac+12$

(B) $formdata=\frac+23$

(C) $formdata=-\frac+23$

(D) $formdata=-\frac+12$

(E) $formdata=3$

- Novamente iremos utilizar a propriedade fundamental de uma PG:
$formdata=\frac{x}{x+1}=\frac{x+2}{x}$

- Desenvolvendo esta equação:
$formdata=x^2=(x+2)(x+1)\\x^2=x^2+3x+2\\0=3x+2\\3x=-2\\x=-\frac{2}{3}$ Resposta certa, letra "C".

4) O conjunto solu��o da equa��o $formdata=x+\frac+x3+\frac+x9+...=30$ �

    (A) 10
    (B) 15
    (C) 20
    (D) 25
    (E) 30

- Note que o lado esquerdo da igualdade é uma PG, com a₁=x e q=1/3. Como todos os termos estão sendo somados, temos uma soma infinita desta PG. Vamos utilizar a fórmula de soma infinita:

$formdata=S_n=\frac{a_1}{1-q}$

$formdata=S_n=\frac{x}{1-\frac+13}$

$formdata=S_n=\frac{\,\,x\,\,}{\frac+23}$

$formdata=S_n=\frac{3x}{2}$

- Vamos voltar a equação do exercício e substituir o valor recém calculado:

$formdata=x+\frac+x3+\frac+x9+...=30\\\frac{3x}2=30\\3x=60\\x=\frac{60}3=20$ Resposta certa, letra "C".

5) A soma dos termos de uma PG � expressa por $formdata=S_n=-3+3^{n+1}$ . A raz�o da progress�o �

(A) $formdata=2$

(B) $formdata=3$

(C) $formdata=6$

(D) $formdata=sqrt+2$

(E) $formdata=sqrt+6$

- O exercício dá a fórmula geral das soma dos "n" primeiros termos e pede sua razão. Para calcular a razão devemos calcular a₁ e a₂ para dividirmos e descobrir sua razão.

- Se substituirmos o valor de "n" por 1, iremos calcular a soma dos 1 primeiros termos, ou seja, o próprio primeiro termo:
    S₁= -3+3¹⁺¹
    S₁= -3+3²
    S₁= -3+9
    S₁= 6
    a₁=6

- Se substituirmos "n" por 2, iremos calcular a soma dos 2 primeiros termos, ou seja, a₁+a₂.
    S₂= -3+3²⁺¹
    S₂= -3+3³
    S₂= -3+27
    S₂= 24

- Substituino o que vale S₂, temos:
    S₂= 24
   a₁+a₂=24
    6+a₂=24
    a₂=24-6
    a₂=18

- Agora dividindo o segundo pelo primeiro termo temos a razão:

$formdata=q=\frac{a_2}{a_1}\\q=\frac{18}{6}\\q=3$ Resposta certa, letra "B".

6) A soma de tr�s n�meros que formam uma PG crescente � 19 e, se subtrairmos 1 do primeiro, sem alterar os outros dois, eles passam a constituir uma PA. A diferen�a entre a soma dos dois primeiros n�meros e o terceiro �:

    (A) -2
    (B) -1
    (C) 0
    (D) 1
    (E) 2

- Informações
PG={a₁,a₂,a₃} a₁+a₂+a₃=19
PA={(a₁-1),a₂,a₃}

- Agora com estas três informações conseguimos estruturar três equações e formar um sisteminha. Com a propriedade fundamental de uma PG tiramos a seguinte equação:

$formdata=\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}$

- Com a propriedade fundamental de uma PA tiramos a próxima equação:

$formdata=a_2-(a_1-1)=a_3-a_2$

- E a terceira equação já é dada, a₁+a₂+a₃=19. Formando o sistema:

$formdata=\left{\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}\\a_2-(a_1-1)=a_3-a_2\\a_1+a_2+a_3=19\right.$

- Um sistema de três equações é um pouco mais demorado de se resolver, mas vamos lá! Primeiro vamos isolar o valor de a₁ na terceira equação e substituir na segunda:

a₁=19-a₂-a₃	Agora vamos substituir este valor na segunda equação e ver no que dá.
a₂-(19-a₂-a₃-1)=a₃-a₂ a₂-19+a₂+a₃+1=a₃-a₂	Veja que podemos cortar os termos a₃ , pois temos ambos somando dos dois lados da equação
a₂-19+a₂+1=-a₂	Agora podemos calcular o valor de a₂. Vamos isolá-lo.
a₂+a₂+a₂=+19-1 3a₂=+18 a₂=18/3 a₂=6	Descobrimos o valor do a₂. Vamos voltar na primeira equação deste quadro e substituir o valor dele.
a₁=19-6-a₃ a₁=13-a₃	Temos a₁ em função de a₃, vamos substituir na primeira equção do sistema.
	Agora é só operar e calcular o valor de a₃.
36=a₃·(13-a₃) 36=13a₃-(a₃)² (a₃)²-13a₃+36=0	Caímos em uma equação do segundo grau de variável a₃, vamos aplicar Bhaskara.
$formdata=\frac{-(-13)\pm\sqrt{(-13)^2-4\cdot+4\cdot+1\cdot+36}}{2\cdot+1}\\\frac{13\pm\sqrt{25}}{2}\\\frac{13\pm+5}{2}=\left{\begin{array}{c}a_3'=9\\a_3''=4\end{array}\right.$	O problema diz que é uma PG crescente, portanto, se a₂=6 então o a₃ tem que ser maior que 6. Vale só a resposta a₃=9. Para calcular o a₁ voltamos à primeira equação deste quadro.
a₁=19-a₂-a₃ a₁=19-6-9 a₁=4	UFA, tá quase no fim. O exercício pede a diferença entre a soma dos dois primeiros números e o terceiro, portanto:
(a₁+a₂)-a₃ (4+6)-9 10-9 1	Resposta certa, letra "D"

7) A seqüência $formdata=(8x,\,5x-3,\,x+3,\,x)$ � uma progress�o geom�trica, de termos positivos, cuja raz�o �

(A) $formdata=\frac+14$

(B) $formdata=\frac+13$

(C) $formdata=\frac+12$

(D) $formdata=2$

(E) $formdata=3$

- Nosso primeiro passo é achar o valor de "x", para depois substituir na progressão e achar a razão.

- Para calcular o "x" vamos usar a propriedade fundamental de uma PG:
$formdata=\frac{5x-3}{8x}=\frac{x}{x+3}$

- Agora é só desenvolver e calcular o valor de "x".
    (5x-3)·(x+3)=x·8x
    5x²+15x-3x-9=8x²
    5x²-8x² +12x-9=0
    -3x²+12x-9=0    Chegamos em uma equação do segundo grau, aplicando Bhaskara:

$formdata=\frac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot(-3)\cdot(-9)}}{2\cdot(-3)}\\\frac{-12\pm\sqrt{36}}{-6}\\\frac{-2\pm+1}{-1}$ Com isso as nossa raízes são 1 e 3. Qual delas é a que vale? Se substituirmos na PG do exercício o x por 1 teremos uma sequência que não é uma PG. Portanto, o valor de x é 3.

- Sabendo o valor de "x" vamos substituir na PG e ver como ela é:
    (8x, 5x-3, x+3, x)
    (8·3, 5·3-3, 3+3, 3)
    (24, 12, 6, 3)    Esta é a PG

- Agora para achar a razão, dividimos o segundo pelo primeiro termo:
$formdata=\frac{12}{24}=\frac+12$ Resposta certa, letra "C".

8) A soma dos termos da PG (5, 50, ..., 500000) �

    (A) 222 222
    (B) 333 333
    (C) 444 444
    (D) 555 555
    (E) 666 666

- Para podermos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PG, devemos saber qual ordem do número 500000 (tercerio, quarto, décimo...). Ou seja, devemos calcular o valor de "n".

- Informações:
a₁=5 q=10 a_n=500000

- Vamos aplicar a fórmula do termo geral:
    a_n=a₁·q^(n-1)      Substituindo seus valores
    500000=5·10^(n-1)
    500000=5·10^(n-1)
    5·100000=5·10^(n-1)
    5·10⁵=5·10^(n-1)
    10⁵=10^(n-1) Agora podemos cortar as bases
    5=n-1
    n=6

- Agora sim, o termo 500000 é o sexto termo, podemos aplicar a fórmula da soma:

$formdata=S_n=\frac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}\\S_6=\frac{5\cdot(10^6-1)}{10-1}\\S_6=\frac{5\cdot(999999)}{9}\\S_6=5\cdot+111111\\S_6=555555$ Resposta certa, letra "D".

9) Ao interpolarmos 5 meios geom�tricos entre 1458 e 2, encontramos uma PG de raz�o:

(A) $formdata=\pm\frac+12$

(B) $formdata=\pm\frac+13$

(C) $formdata=\pm\frac+14$

(D) $formdata=\pm\frac+15$

(E) $formdata=\pm\frac+16$

- Informações do problema:

1458 __ __ __ __ __ 2

a₁=1458 a₇=2 q=?

- Esta é a parte mais difícil do problema, ver que o 2 é o sétimo termo. Agora é só aplicar a fórmula do termo geral para o a₇.

$formdata=a_7=a_1\cdot+q^{(7-1)}\\2=1458\cdot+q^6\\q^6=\frac{2}{1258}=\frac{1}{729}\\q^6=\left(\frac{1}{3}\right)^6\\q=\pm\frac+13$ Como é um expoente PAR, ao "passa-lo" para o outro lado como raiz, deve-se incluir o sinal de ±. Resposta certa letra "B".

10) A raz�o de uma PG cujo termo geral � $formdata=a_n=2\cdot\sqrt{2^{n-3}}$ �

(A) $formdata=sqrt+2$

(B) $formdata=\frac{sqrt+2}{3}$

(C) $formdata=\frac{3\sqrt+2}{2}$

(D) $formdata=2\sqrt+2$

(E) $formdata=4\sqrt+2$

- Para calcular-mos a razão, devemos saber no mínimo o primeiro e o segundo termo. Substituindo n por 1 e por 2 na fórmula do termo geral dada, temos:

$formdata=a_1=2\cdot\sqrt{2^{1-3}}\\a_1=2\cdot\sqrt{2^{-2}}\\a_1=2\cdot\sqrt{\frac{1}{4}}\\a_1=2\cdot\frac{1}{2}\\a_1=1$

$formdata=a_2=2\cdot\sqrt{2^{2-3}}\\a_2=2\cdot\sqrt{2^{-1}}\\a_2=2\cdot\sqrt{\frac{1}{2}}\\a_2=\frac{2}{sqrt+2}\\a_2=\frac{2}{\sqrt+2}\cdot\frac{sqrt+2}{sqrt+2}=sqrt+2$

- Agora, já sabendo a₁ e a₂, podemos calcular a razão:

$formdata=q=\frac{a_2}{a_1}\\q=\frac{sqrt+2}{1}\\q=sqrt+2$ Resposta certa, letra "A".

11) (PUC) De acordo com a disposi��o dos n�meros abaixo,

A soma dos elementos da d�cima linha vale:

    (A) 2066
    (B) 5130
    (C) 10330
    (D) 20570
    (E) 20660

- Questão muito bem elaborada! Note que cada linha desta "pirâmide" é uma PA de razão 2. Cada linha tem um elemento a mais do que a linha anterior, sendo que sua ordem é igual ao número de termos (a segunda tem 2 termos a quinta tem 5 termos a décima tem 10 termos).
Veja também que a primeira coluna (que determina o primeiro elemento de cada linha) segue como uma PG de razão 2 e a₁=2. Então, o primeiro termo da décima linha será (a₁₀):

a₁₀=a₁·q⁹
a₁₀=2·2⁹
a₁₀=1024

- A décima linha será uma PA com a₁=1024 r=2 e terá 10 termos. Antes de calcularmos a soma (que o exercício pede) devemos calcular o valor do décimo termo desta PA:

a₁₀=a₁+9·r
a₁₀=1024+9·2
a₁₀=1024+18
a₁₀=1042

- Portanto, a soma dos termos (de acordo com a fórmula):

S₁₀=(a₁+a₁₀)·10/2
S₁₀=(1024+1042)·5
S₁₀=(2066)·5
S₁₀=10330 Resposta certa, letra "C".

GABARITO
01-D	04-C	07-C	10-A
02-C	05-B	08-D	11-C
03-C	06-D	09-B

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1 • Introdução 2 • Termo Geral 3 • Exercícios Resolvidos 4 • Soma PG finita 5 • Soma PG infinita 6 • Interpolação de Meios 7 • Exercícios de Fixação

1 • Introdução
2 • Termo Geral
3 • Exercícios Resolvidos
4 • Soma PG finita
5 • Soma PG infinita
6 • Interpolação de Meios
7 • Exercícios de Fixação