Progressões Geométricas - Soma dos Termos de uma P.G. Infinita
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Quando temos uma PG decrescente (0<q<1) podemos dizer que esta tem infinitos termos.

- Ué? Como assim?

Veja no exemplo a PG de primeiro termo igual a 4 e razão q=1/2:

Note que a cada termo que passa vai diminuindo mais e mais, chegando quase perto de zero. O termo a12 que vale 1/512 passando para decimais vale quase 0,002, e o termo a13 é mais ou menos 0,001, quanto mais alta a ordem do termo mais perto de zero ele chega, passando a ser insignificante na soma final.

Por isso que podemos fazer a soma de todos os termos desta PG, mesmo ela tendo um número infinito de termos.

Vamos fazer a dedução da fórmula começando com a fórmula da soma dos "n" primeiros termos:

Sabemos que a razão de uma PG infinita tem que ser 1<q<0 (no nosso exemplo, 1/2). Também sabemos que "n" significa a ordem do último termo (sexto, sétimo, oitavo, etc), que na nossa PG é ∞ (infinito), então com certeza é um número muito grande. Quanto você acha que vale 1/2 elevado a um expoente muito grande?

Exemplo: 

Veja que o denominador da fração é o 2 elevado a potência mil, ou seja, essa potência é muito grande, o que faz a divisão de 1 por esse número muito grande resultar um número extremamente pequeno, insignificante.

Podemos dizer que é ZERO. E ao substituirmos na fórmula, a razão elevado na "n" (qn), por ZERO, temos:

Chegamos em uma fórmula que é um tanto quanto "bonitinha". Mas para melhorá-la, vamos multiplicar "em cima" e "em baixo" da divisão por -1

Agora chegamos na fórmula final da soma dos termos de uma PG infinita. Tente resolver o exercício abaixo e depois veja a resolução.

1) Dada a PG com a2=5 e q=2/5, calcule a soma dos infinitos termos.

- Primeiro temos que calcular o valor de a1. Para isso vamos usar a fórmula do termo geral:

- Agora é só colocar na fórmula da soma:


2) Sendo , calcule o valor de X:

  (A)

  (B)

  (C)

  (D)

  (E) impossível de se calcular

  - Esta é uma clássica de vestibular. Não é dito no problema que se trata de uma PG, você deve descobrir. O termo a1 vale 5/6, e a razão nós calculamos dividindo o segundo termo pelo primeiro:

  - Agora é só substituir na fórmula da soma infinita:


asdf

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