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Quando temos uma PG decrescente (0<q<1) podemos dizer que esta tem infinitos termos.
- Ué? Como assim?
Veja no exemplo a PG de primeiro termo igual a 4 e razão q=1/2:
Note que a cada termo que passa vai diminuindo mais e mais,
chegando quase perto de zero. O termo a12 que vale 1/512 passando para decimais
vale quase 0,002, e o termo a13 é mais ou menos 0,001, quanto mais alta a
ordem do termo mais perto de zero ele chega, passando a ser insignificante na soma final.
Por isso que podemos fazer a soma de todos os termos desta
PG, mesmo ela tendo um número infinito de termos.
Vamos fazer a dedução da fórmula começando com a
fórmula da soma dos "n" primeiros termos:
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Sabemos que a razão de uma PG
infinita tem que ser 1<q<0 (no nosso exemplo, 1/2). Também sabemos que
"n" significa a ordem do último termo (sexto, sétimo, oitavo, etc),
que na nossa PG é ∞ (infinito), então com certeza é um número muito grande. Quanto
você acha que vale 1/2 elevado a um expoente muito grande? |
Exemplo:  |
Veja que o denominador da fração é o 2 elevado a potência mil, ou seja, essa potência é muito grande, o que faz a divisão de 1 por esse número muito grande resultar um número extremamente
pequeno, insignificante.
Podemos dizer que é ZERO. E ao substituirmos na fórmula, a
razão elevado na "n" (qn), por ZERO, temos:
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Chegamos em uma fórmula que é
um tanto quanto "bonitinha". Mas para melhorá-la, vamos multiplicar "em
cima" e "em baixo" da divisão por -1 |
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Agora chegamos na fórmula final
da soma dos termos de uma PG infinita. Tente resolver o exercício abaixo e depois veja a
resolução. |
1) Dada a PG com a2=5 e q=2/5,
calcule a soma dos infinitos termos.
- Primeiro temos
que calcular o valor de a1. Para isso vamos usar a fórmula do termo
geral:
- Agora é só
colocar na fórmula da soma:
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2) Sendo  , calcule o valor
de X:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) impossível de se calcular
-
Esta é uma clássica de vestibular. Não é dito no problema que se trata de uma PG,
você deve descobrir. O termo a1 vale 5/6, e a razão nós calculamos dividindo
o segundo termo pelo primeiro:
- Agora é só
substituir na fórmula da soma infinita:
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