Resposta
[tex3]32(3-\sqrt{5})[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Funções / Analítica Tópico resolvido
-
ASPIRANTE23
- Mensagens: 35
- Registrado em: 31 Jan 2024, 16:37
- Última visita: 05-06-24
- Agradeceu: 22 vezes
Mai 2024
09
16:07
Funções / Analítica
Seja a função real [tex3]𝑓: [2, 10] → ℝ[/tex3]
tal que [tex3]𝑓(𝑥) = (𝑥 − 10)^2 + [/tex3]
[tex3](\sqrt{-x^{2}+12x-20} -8)^2[/tex3]
O menor valor de 𝑓 é:
[tex3]32(3-\sqrt{5})[/tex3]
[tex3]32(3-\sqrt{5})[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 10 Mai 2024, 08:25, em um total de 1 vez.
Razão: retirar caps lock do título.
Razão: retirar caps lock do título.
-
matbatrobin
- Mensagens: 498
- Registrado em: 30 Ago 2008, 14:41
- Última visita: 09-06-24
- Localização: Brasília-DF
- Agradeceu: 3 vezes
- Agradeceram: 23 vezes
Mai 2024
30
20:09
Re: Funções / Analítica
Note que [tex3]-x^2+12x-20=-(x-2)(x-10)[/tex3]
, para encontrar isso basta achar as raízes de [tex3]-x^2+12x-20=0[/tex3]
e notar que [tex3]x_1=2[/tex3]
e [tex3]x_2=10[/tex3]
são raízes. Chamando [tex3]g(x)=-x^2+12x-20=-(x-2)(x-10)[/tex3]
, quem já estudou parábolas e equações de 2º grau perceberá que como o coeficiente do termo [tex3]x^2[/tex3]
é negativo, o gráfico de [tex3]g[/tex3]
é uma parábola côncava, ou como se diz no ensino médio, com "concavidade para baixo". Além disso, para todo [tex3]2<x<10\Rightarrow g(x)>0[/tex3]
e [tex3]g[/tex3]
atinge máximo na média das duas raízes ou seja [tex3]x=6[/tex3]
com [tex3]g(6)=8[/tex3]
.
Reescrevemos [tex3]\left[\sqrt{-(x-2)(x-10)}-8\right]^2=-(x-2)(x-10)-16\sqrt{-x^2+12x-20}+64[/tex3] , o que simplificando nos leva a [tex3]f(x)=-8x-16\sqrt{-x^2+12x-20}+144[/tex3] . Daí, [tex3]f'(x)=-8+8\frac{2x-12}{\sqrt{-x^2+12x-20}}[/tex3] e [tex3]f''(x)=\frac{256}{[-(x-2)(x-10)]^{3/2}}[/tex3] , de onde vemos que [tex3]f[/tex3] é convexa já que sua segunda derivada é estritamente positiva em [tex3](-2,10)[/tex3] tendendo a [tex3]+\infty[/tex3] quando [tex3]x[/tex3] se aproxima de [tex3]2[/tex3] e de [tex3]10[/tex3] . Portanto, temos um mínimo global que pode ser obtido fazendo [tex3]0=f'(x)=-8+8\frac{2x-12}{\sqrt{-x^2+12x-20}}[/tex3] .
Segue que [tex3]\sqrt{-x^2+12x-20}=2x-12 \Rightarrow -x^2+12x-20=(2x-12)^2\Rightarrow 5x^2-60x+164=0\Rightarrow x=6\pm 4/\sqrt{5} [/tex3] .
Como elevamos ao quadrado dos dois lados em uma das etapas de solução temos uma raiz a mais. Podemos testar ambas em [tex3] \sqrt{-x^2+12x-20}=2x-12[/tex3] e ver qual funciona, mas isso não é necessário. Note que [tex3]h(x)=(x-10)^2[/tex3] atinge mínimo quando [tex3]x=10[/tex3] e [tex3]l(x)=\left[\sqrt{-x^2+12x-20}-8\right]^2[/tex3] atinge mínimo justamente quando [tex3]g(x)=-x^2+12x-20[/tex3] atinge seu máximo, que é em [tex3]x=6[/tex3] . Então [tex3]f[/tex3] atinge mínimo entre [tex3]6[/tex3] e [tex3]10[/tex3] só pondendo ser em [tex3]x^*=6+4/\sqrt{5}\approx 7,79[/tex3] onde obtemos o valor [tex3]f(6+4/\sqrt{5})=32(3-\sqrt{5})[/tex3] .
Obs.: Sinto que tem alguma outra forma de resolvermos, por exemplo em vez minimizarmos [tex3]f[/tex3] minimizamos sua composta com alguma função estritamente crescente de forma que a composta tenha expressão algébrica mais simples. Mas ainda não pensei que função seria essa...
Reescrevemos [tex3]\left[\sqrt{-(x-2)(x-10)}-8\right]^2=-(x-2)(x-10)-16\sqrt{-x^2+12x-20}+64[/tex3] , o que simplificando nos leva a [tex3]f(x)=-8x-16\sqrt{-x^2+12x-20}+144[/tex3] . Daí, [tex3]f'(x)=-8+8\frac{2x-12}{\sqrt{-x^2+12x-20}}[/tex3] e [tex3]f''(x)=\frac{256}{[-(x-2)(x-10)]^{3/2}}[/tex3] , de onde vemos que [tex3]f[/tex3] é convexa já que sua segunda derivada é estritamente positiva em [tex3](-2,10)[/tex3] tendendo a [tex3]+\infty[/tex3] quando [tex3]x[/tex3] se aproxima de [tex3]2[/tex3] e de [tex3]10[/tex3] . Portanto, temos um mínimo global que pode ser obtido fazendo [tex3]0=f'(x)=-8+8\frac{2x-12}{\sqrt{-x^2+12x-20}}[/tex3] .
Segue que [tex3]\sqrt{-x^2+12x-20}=2x-12 \Rightarrow -x^2+12x-20=(2x-12)^2\Rightarrow 5x^2-60x+164=0\Rightarrow x=6\pm 4/\sqrt{5} [/tex3] .
Como elevamos ao quadrado dos dois lados em uma das etapas de solução temos uma raiz a mais. Podemos testar ambas em [tex3] \sqrt{-x^2+12x-20}=2x-12[/tex3] e ver qual funciona, mas isso não é necessário. Note que [tex3]h(x)=(x-10)^2[/tex3] atinge mínimo quando [tex3]x=10[/tex3] e [tex3]l(x)=\left[\sqrt{-x^2+12x-20}-8\right]^2[/tex3] atinge mínimo justamente quando [tex3]g(x)=-x^2+12x-20[/tex3] atinge seu máximo, que é em [tex3]x=6[/tex3] . Então [tex3]f[/tex3] atinge mínimo entre [tex3]6[/tex3] e [tex3]10[/tex3] só pondendo ser em [tex3]x^*=6+4/\sqrt{5}\approx 7,79[/tex3] onde obtemos o valor [tex3]f(6+4/\sqrt{5})=32(3-\sqrt{5})[/tex3] .
Obs.: Sinto que tem alguma outra forma de resolvermos, por exemplo em vez minimizarmos [tex3]f[/tex3] minimizamos sua composta com alguma função estritamente crescente de forma que a composta tenha expressão algébrica mais simples. Mas ainda não pensei que função seria essa...
-
- Tópicos Semelhantes
- Resp.
- Exibições
- Últ. msg
-
- 2 Resp.
- 2909 Exibições
-
Últ. msg por ocotoconinja
-
- 0 Resp.
- 817 Exibições
-
Últ. msg por MED10
-
- 1 Resp.
- 662 Exibições
-
Últ. msg por Drako
-
- 1 Resp.
- 708 Exibições
-
Últ. msg por leomaxwell
-
- 1 Resp.
- 898 Exibições
-
Últ. msg por petras
