A) 0
B) 1
C) 8
D) 10
E) 80
Resposta
Gabarito: B
Olimpíadas ⇒ (OBMEP-2017) Resto da divisão
-
ALANSILVA
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Jun 2017
21
12:08
(OBMEP-2017) Resto da divisão
Somando [tex3]1[/tex3]
a um certo número natural, obtemos um múltiplo de [tex3]11[/tex3]
. Subtraindo [tex3]1[/tex3]
desse mesmo número, obtemos um múltiplo de [tex3]8[/tex3]
. Qual é o resto da divisão do quadrado desse número por [tex3]88[/tex3]
?
A) 0
B) 1
C) 8
D) 10
E) 80
Gabarito: B
A) 0
B) 1
C) 8
D) 10
E) 80
Gabarito: B
Editado pela última vez por ALANSILVA em 21 Jun 2017, 12:08, em um total de 1 vez.
No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)
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Snowden
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Jun 2017
21
14:10
Re: (OBMEP-2017) Resto da divisão
Esse número seria o 65? eu fiz a lista dos números multiplos de 11 até o número 154(14 números),depois eu fui subtraindo uma unidade e somando uma unidade.Por exemplo: 55 é multiplo de 11, logo 54 é um numero que somado com uma unidade vira multiplo de 11,mas quando subtrai uma unidade Não vira multiplo de 8. achei o 65 e,realmente,seu quadrado deixa resto 1 quando divide por 88.Espero ter ajudado
"Deus acima de tudo, Brasil acima de todos"
-
undefinied3
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Jun 2017
21
21:24
Re: (OBMEP-2017) Resto da divisão
Não é apenas esse número. Por ser uma questão objetiva, essa solução por listagem seria suficiente, mas deixo uma solução que daria pontuação completa caso a questão fosse discursiva, pois a priori não há nada que prove que esse resto é unicamente 1.
[tex3]n+1=11a \rightarrow 8n+8=88a[/tex3]
[tex3]n-1=8b \rightarrow 11n-11=88b[/tex3]
[tex3]3n-19=88(b-a)=88c[/tex3]
[tex3]3n=88c+19[/tex3]
Veja que [tex3]88 \equiv 1[/tex3] e [tex3]19 \equiv 1[/tex3] módulo 3, então c deve deixar resto 2, segue que [tex3]c=3p+2[/tex3]
[tex3]3n=264p+195 \rightarrow n =88p+65[/tex3]
O resto da divisão de [tex3]n^2[/tex3] por 88 é o mesmo que o quadrado do resto da divisão de n por 88. No caso, esse resto é 65, [tex3]65^2=4225[/tex3] , que deixa resto 1 de fato.
[tex3]n+1=11a \rightarrow 8n+8=88a[/tex3]
[tex3]n-1=8b \rightarrow 11n-11=88b[/tex3]
[tex3]3n-19=88(b-a)=88c[/tex3]
[tex3]3n=88c+19[/tex3]
Veja que [tex3]88 \equiv 1[/tex3] e [tex3]19 \equiv 1[/tex3] módulo 3, então c deve deixar resto 2, segue que [tex3]c=3p+2[/tex3]
[tex3]3n=264p+195 \rightarrow n =88p+65[/tex3]
O resto da divisão de [tex3]n^2[/tex3] por 88 é o mesmo que o quadrado do resto da divisão de n por 88. No caso, esse resto é 65, [tex3]65^2=4225[/tex3] , que deixa resto 1 de fato.
Editado pela última vez por undefinied3 em 21 Jun 2017, 21:24, em um total de 2 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
-
Lonel
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Jun 2017
22
10:38
Re: (OBMEP-2017) Resto da divisão
Vou postar a solução que fiz no dia da prova, acho que é mais fácil de entender/fazer:
Vou chamar este número natural de [tex3]n[/tex3] . Sabemos que [tex3]\frac{n+1}{11}[/tex3] e [tex3]\frac{n-1}{8}[/tex3] apresentam restos zero, então a multiplicação entre as frações apresentará o mesmo resto. Assim, [tex3]\frac{n^2-1}{88}[/tex3] apresenta resto zero. Como [tex3]n^2[/tex3] subtraído de uma unidade deixa resto zero, assim [tex3]n^2[/tex3] deixará resto um.
Vou chamar este número natural de [tex3]n[/tex3] . Sabemos que [tex3]\frac{n+1}{11}[/tex3] e [tex3]\frac{n-1}{8}[/tex3] apresentam restos zero, então a multiplicação entre as frações apresentará o mesmo resto. Assim, [tex3]\frac{n^2-1}{88}[/tex3] apresenta resto zero. Como [tex3]n^2[/tex3] subtraído de uma unidade deixa resto zero, assim [tex3]n^2[/tex3] deixará resto um.
Editado pela última vez por Lonel em 22 Jun 2017, 10:38, em um total de 1 vez.
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