\mathsf{AQ = QB = x\\
T.Cordas: AQ.QB = FQ.QE\implies x^2 = 4.9 \\
\therefore \boxed{\color{red}x=AB = 6}}
(Solução:Geobson)

AQ = x+2, BC = x+1 e AB = x
\mathsf{T.Tangente: (x+2)^2 =x(2x+1)\implies x^2+4x+4 =2x^2+x\\
x^2-3x - 4=0 \therefore x =4\\
\boxed{\color{red}AQ = (4+2) = 6}}

\mathsf{ABC = ED, \implies \angle FEC=\angle DCE\\ \therefore EF// DC, (FEC ~e ~DCE ~são~ alternos~ internos)\\\therefore \angle EFD= \angle CDF\\
ΔCDN \sim ΔENF \therefore
\frac{4}{12} =...

\mathsf{\triangle CDP:notável(3k-4k-5k) \therefore PD=25\\
Potencia~ de~ ponto:25=x.25 \implies \boxed{\color{red}
x=1}}
(Solução: jvmago -

\mathsf{a.b = c.d\rightarrow a.b.a.b = 625\rightarrow (ab)^2 = 625\rightarrow ab=25\\
\text {Traçando o diâmentro por OM} \\
a.b = (R+OM).(R-OM)\rightarrow 25 = R^2-OM^2\rightarrow 25=169-OM^2\\...

Trace BD , daí \angle BDC=45^{\circ} . Por D trace BH\perp AC ( H\in DC ).

∆BHC \sim ∆AOC : \frac{R}{R\sqrt5}=\frac{CH}{R}\ \therefore CH=\frac{R}{\sqrt5}

Teo. Pitágoras no ∆ BCH :...

\mathsf{ T.Cordas:\\ PR.RS= AR.BR\\
4.2 = AR. BR \implies AR.BR = 8\\
QR.RT=AR.RB \\
1.(2+ST) = 8 \therefore \boxed{\color{red}ST =6}}
(Solução:Geobson)

\mathsf{T.Tangente:\\
PT^2 =PA.PB =4.26 = 24\\
PT^2 = PC. PD\implies 24 = 3(3+CD)\\
\therefore \boxed{\color{red}CD=5}
}
(Solução: Geobson)

Esse é o Teorema de Pompeiu (caso do triângulo degenerado AB=AF+AC ).

VEJA:

\mathsf{\triangle ABC: Traçar~CD \perp AB(D \in AB)\\BC^2 = BD.AB = 2.8 \therefore BC = 4\\
AC^2=8^2-4^2 \implies AC^2 = \sqrt{48} \therefore AC = 4\sqrt3\\
Por~homotetia:AM=CM = \frac{AC}{2}...

\mathsf{E = AD \cap CK \text{ onde K está na circunferência e contida no prolongamento de PQ }\\

PK~ é~ bissetriz\\

Como~ BC \parallel AD \implies AB=CD\\

CK-~ é~ bissetriz\\

T. Bissetriz...

Seja K a segunda intersecção de PC com o círculo à esquerda (diferente de P obviamente).
Então como PB⊥AK e B é centro do círculo então a reta PB é mediatriz da corda AK e isso implica que PB é, em...

\mathsf{PQ ~e ~BR ~são~ bissetrizes(Lema ~Estrela~ da~ Morte)\\
T. Bissetriz~ interna \triangle ACR:\frac{CR}{BC}=\frac{AR}{AB}\implies\frac{CR}{1} = \frac{AR}{6}\\
\therefore: AR=6RC\\
APCR ~é~...

Um ângulo inscrito e outro semi-inscrito que correspondem a mesma corda (ou arco) na mesma circunferência, são iguais.
\mathsf{∠BAD=∠BDC=α\\
∠DBC=∠CDr=∠ADt=∠ABD=∠PDA=∠DPC=∠DCP=β\\
\therefore...

petras ,
Seja R=AC=CO=OG=GB
Dado que EG é mediatriz, é fácil achar que OE=OB=2OG\implies \angle OEG=30\degree\therefore R=1
Daí, CE=\sqrt{(2R)^2+3}=\sqrt7=\sqrt{EH^2+1^2}\therefore EH=ED=\sqrt6

M o ponto que PD toca a circunferência tal que

\mathsf{PM = m ~e~ BD = n\\

\triangle MAD \implies C~é~ponto ~médio \overset{\LARGE{\frown}}{MD}(^*Lema~Estrela~Morte) \\
\therefore CD=CM=b\implies...

AG = \frac{CD}{2} = \frac{4}{2} = 2 \implies EG = BE = 1\\
\perp GB (E \in GB): EGO = 45^o\\
cos45^o = \frac{EG}{GO}\implies \frac{\sqrt2}{2} = \frac{1}{GO} \therefore GO = \sqrt2\\
OE =...

\mathsf{\text{Potência de ponto nos segmentos AC e EF, juntamente com os segmentos BD e EG}\\

ABxBC= EBXBF = 4x3=BEx6, BE=CD=2.\\

ECxCG=BCxCD, ECxCG=3x2=6.\\

\text{Há dois casos nessa...

Soluçao Caso Geral: onde PC não é perpendicular a AB:

\mathsf{AP^2+AC^2+PC^2(I)

AI \perp PC (I \in PC) \\
Potência~Ponto:
PI⋅PB = PI⋅(PI+IB)= PI^2+PI⋅IB=3⋅5=15\\
PI=BC.
PI⋅IC=PI⋅(PI+IB)\\.
T.Pit:...

\mathsf{NP=?\\
BM = MP\\
MN = 2m\\
AP=BP\\
\text{(Ao ligar o ponto A ao ponto M, tocamos a circunferência em um determinado ponto N.}\\
\text{Uma vez que AO=AN=ON, por propriedade dos triângulos...

Por Potência:
\mathsf{ T. Secantes:\\
{ 2(8)=(1+x)(1+x+ED)(I) \\
T.Tangente:\\
2^2 = 1.(1+x+ED)\implies 4 = (1+x+ED)(II)\\
(I) e (II)16 = 4(1+x)\therefore \boxed{\color{\red}{x=3}}}}
(Solução:...

\mathsf{\triangle ABD \sim \triangle APO \implies
\frac{2R}{R} =\frac{BD}{PO} \therefore k = 2\\
\therefore BD = 2 \cdot OP = 2.2,5 = 5\\
DG \perp FB (G \in FB)\\
\angle GBD = 60^o \implies GD =...

Seja: B o ponto onde as circunferências se tocam
D ponto que o segmento PB corta a circunferência
Traçar BL

\mathsf{\triangle PBQ \sim \triangle PBL :\frac{a}{PB}=\frac{PD}{a+b} \implies\\...

AE \cdot AF = AC^2 \iff \frac{AF^2}4 = 4 \iff AF =4

ΔAEB é equilátero, pois tem todos os lados iguais a 1.

Lei dos cossenos em ΔABF

\mathsf{BF^2 = AF^2 + AB^2 - 2 AF \cdot AB \cdot \cos (60)\\...

Problema com vício , não foi determinado P.

Trace AT, veja que ∠ATM é um ângulo inscrito na circunferência olhando para o diâmetro, então △ATM é retângulo em T.
Por Pitágoras encontramos AT=12 \sqrt{2} .
Veja que ∠AMT é um ângulo inscrito na...

AB = BC
AB = BC\\
\mathsf{\triangle CQB \sim \triangle BCD}(A.A.)\\
\frac{BC}{BD}=\frac{BQ}{BC}\implies BC^2=BD.BQ=a(a+b)\\
\therefore \boxed{\color{red}BC =AB = \sqrt{a(a+b)}} \\

(Solução:...

Assumindo que as circunferências são tangentes em C, mas a reta PC não é tangente a nenhuma das duas.
Seja X o encontro de PC com o círculo maior
Seja Y o encontro de PC com o círculo menor

Da...

A equação ali no meio parece errada, ela deveria levar a x=R em vez de \frac R2 .
O link no final está com problema.