Ensino Médio ⇒ Trigonometria e números complexos

[emanuel9393]

De certa forma, acredito que essa questão está ligada à uma outra que eu postei nesse fórum e está no link:
http://www.tutorbrasil.com.br/forum/mat ... 43248.html
Quem responder essa, acho que consigo responder a outra (ou vice-versa). Vamos à questão:

Provar que:

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[tex3]\dfrac{1+\sin x + i\cos x}{1- \sin x - i \cos x}=(\tan x + \sec x)i[/tex3]

.

[PedroCunha]

Olá, meu amigo.

Seja

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[tex3]\sin x + i\cos x = a[/tex3]

. Temos:

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[tex3]\frac{1+a}{1-a} \therefore \frac{(1+a)^2}{1^2 - a^2} \therefore \frac{a^2 + 2a + 1}{1 - a^2} \therefore \frac{\sin^2x + i \cdot 2\sin x \cos x - \cos^2x + 2\sin x + i \cdot 2\cos x + 1}{1 - \sin^2x - i \cdot 2 \sin x \cos x + \cos^2x} \therefore \\\\[/tex3]

No numerador:

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[tex3]\sin^2x + i \cdot 2\sin x \cos x - \cos^2x + 2\sin x + i \cdot 2\cos x + 1 \therefore \\\\ \sin^2x - 1 + \sin^2x + i \cdot 2\sin x \cos x + 2\sin x + i \cdot 2\cos x + 1 \therefore \\\\ 2 \cdot (\sin^2x + i \cdot \sin x \cos x + \sin x+ i\cos x) \therefore \\\\ 2 \cdot [ \sin x \cdot (\sin x + 1) + i\cos x \cdot (\sin x + 1)] \therefore 2 \cdot (\sin x + 1) \cdot (\sin x + i\cos x)[/tex3]

No denominador:

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[tex3]1 - \sin^2x - i \cdot 2 \sin x \cos x + \cos^2x \therefore 2\cos^2x - i \cdot 2\sin x \cos x \therefore \\\\ 2 \cdot (\cos^2 x - i \sin x \cos x) \therefore 2 \cos x \cdot (\cos x - i\sin x)[/tex3]

Agora vem o pulo do gato:

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[tex3]\circ (\sin x + i\cos x) \cdot (-i) = -i \sin x + \cos x[/tex3]

Então, com as devidas substituições, no numerador temos:

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[tex3]2 \cdot (\sin x + 1) \cdot \frac{\cos x - i \sin x}{i}[/tex3]

Trazendo os novos resultados para a expressão:

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[tex3]\frac{2 \cdot (\sin x + 1) \cdot \frac{\cos x - i\sin x}{-i}}{2 \cdot \cos x \cdot (\cos x - i\sin x)} \therefore \frac{\sin x + 1}{\cos x} \cdot \frac{1}{-i} \therefore \left( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} \right) \cdot \frac{1}{-i} \cdot \frac{i}{i} \\\\ \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ (\tan x + \sec x) \cdot i }}[/tex3]

Questãozinha complicada, meu jovem...

Tem a fonte?

Abraços,
Pedro

[FilipeCaceres]

Olá, Galera!!

Uma solução um pouco mais "simplificada", mas precisa ter um certo conhecimento em complexos.

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[tex3]\frac{1+\sin x + i\cos x}{1- \sin x - i \cos x}==\frac{1+cis x}{1-cis x}=\frac{2\cos\left(\frac{x}{2}\right)cis\left(\frac{x}{2}\right)}{-2i\sin\left(\frac{x}{2}\right)cis\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

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[tex3]= \frac{1}{-i\tan\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{-i\cdot \frac{\sin x}{1+\cos x}}=\frac{1+\cos x}{-i\cdot sin x}\cdot \frac{i}{i}=(\tan x + \sec x)\cdot i[/tex3]

Para quem não conseguiu seguir vou deixar algumas demonstrações.

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[tex3]\bullet \,\,\,1+cis x= 1+\cos x +i\cdot \sin x = 2\cos\left(\frac{x}{2}\right)+2icos\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right)=2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\left[\cos \left(\frac{x}{2}\right)+i\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right]=\boxed{2\cos\left(\frac{x}{2}\right)cis\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

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[tex3]\bullet \,\,\,1-cis x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\left[\sin\left(\frac{x}{2}\right)-icos\left(\frac{x}{2}\right)\right]\cdot (-i\cdot i) =-2i\sin \left(\frac{x}{2}\right)\left[\cos\left(\frac{x}{2}\right)+i\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right]=\boxed{ -2i\sin\left(\frac{x}{2}\right)cis\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

Abraço.