Prove que:
[tex3]\cos \(\frac{\pi}{11}\)+ \cos \(\frac{3\pi}{11}\)
+ \cos \(\frac{5\pi}{11}\) +\cos \(\frac{7\pi}{11}\)+
\cos \(\frac{9\pi}{11}\) = 1÷2[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Trigonometria - Números Complexos Tópico resolvido
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Jan 2019
16
10:58
Re: Trigonometria - Números Complexos
Uma ideia que funciona para soma de cossenos em PA é multiplicar a expressão por 2 [tex3]\cdot[/tex3]
Seja [tex3]S = \cos\(\frac{\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{3\pi}{11}\) + \cos\(\frac{5\pi}{11}\) + \cos\(\frac{7\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{9\pi}{11}\)[/tex3]
Multilpicando ambos os lados da igualdade por [tex3]2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\)[/tex3] , temos
[tex3]\begin{aligned}
2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \cdot S &= 2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \[ \cos\(\frac{\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{3\pi}{11}\) + \cos\(\frac{5\pi}{11}\) + \cos\(\frac{7\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{9\pi}{11}\) \]
\\
\\
&= 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{\pi}{11}\) + 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{3\pi}{11}\) + 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{5\pi}{11}\)+ 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{7\pi}{11}\) + 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{9\pi}{11}\)
\end{aligned}[/tex3]
Por Prostaférese, sabemos que
[tex3]2\sen(x)cos(y)=\sen(x+y)+\sen(x-y)[/tex3]
Segue, daí, que
[tex3]\begin{aligned}
2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \cdot S &= \sen\(\frac{2\pi}{11}\) + \sen\(0\) + \sen\(\frac{4\pi}{11}\) + \sen\(\frac{- 2\pi}{11}\) + \sen\(\frac{6\pi}{11}\) + \sen\(\frac{-4\pi}{11}\) + \sen\(\frac{8\pi}{11}\) + \sen\(\frac{-6\pi}{11}\) + \sen\(\frac{10\pi}{11}\) + \sen\(\frac{-8\pi}{11}\)
\\
\\
&= \cancel{\sen\(\frac{2\pi}{11}\)} + \sen\(0\) + \cancel{\sen\(\frac{4\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{- 2\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{6\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{-4\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{8\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{-6\pi}{11}\)} + \sen\(\frac{10\pi}{11}\) + \cancel{\sen\(\frac{-8\pi}{11}\)}
\\
\\
&= \sen\(\frac{10\pi}{11}\)
\end{aligned}[/tex3]
Mas [tex3]\sen\(x\) = \sen\(\pi-x\)[/tex3] , ou seja,
[tex3]2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \cdot S = \sen\(\frac{\pi}{11}\)[/tex3]
[tex3]S = \frac{1}{2}[/tex3]
sen (da metade da razão)Seja [tex3]S = \cos\(\frac{\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{3\pi}{11}\) + \cos\(\frac{5\pi}{11}\) + \cos\(\frac{7\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{9\pi}{11}\)[/tex3]
Multilpicando ambos os lados da igualdade por [tex3]2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\)[/tex3] , temos
[tex3]\begin{aligned}
2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \cdot S &= 2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \[ \cos\(\frac{\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{3\pi}{11}\) + \cos\(\frac{5\pi}{11}\) + \cos\(\frac{7\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{9\pi}{11}\) \]
\\
\\
&= 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{\pi}{11}\) + 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{3\pi}{11}\) + 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{5\pi}{11}\)+ 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{7\pi}{11}\) + 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{9\pi}{11}\)
\end{aligned}[/tex3]
Por Prostaférese, sabemos que
[tex3]2\sen(x)cos(y)=\sen(x+y)+\sen(x-y)[/tex3]
Segue, daí, que
[tex3]\begin{aligned}
2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \cdot S &= \sen\(\frac{2\pi}{11}\) + \sen\(0\) + \sen\(\frac{4\pi}{11}\) + \sen\(\frac{- 2\pi}{11}\) + \sen\(\frac{6\pi}{11}\) + \sen\(\frac{-4\pi}{11}\) + \sen\(\frac{8\pi}{11}\) + \sen\(\frac{-6\pi}{11}\) + \sen\(\frac{10\pi}{11}\) + \sen\(\frac{-8\pi}{11}\)
\\
\\
&= \cancel{\sen\(\frac{2\pi}{11}\)} + \sen\(0\) + \cancel{\sen\(\frac{4\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{- 2\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{6\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{-4\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{8\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{-6\pi}{11}\)} + \sen\(\frac{10\pi}{11}\) + \cancel{\sen\(\frac{-8\pi}{11}\)}
\\
\\
&= \sen\(\frac{10\pi}{11}\)
\end{aligned}[/tex3]
Mas [tex3]\sen\(x\) = \sen\(\pi-x\)[/tex3] , ou seja,
[tex3]2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \cdot S = \sen\(\frac{\pi}{11}\)[/tex3]
[tex3]S = \frac{1}{2}[/tex3]
Editado pela última vez por MateusQqMD em 16 Jan 2019, 11:59, em um total de 1 vez.
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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