Sejam K = {p1, p2, …, p2022} um conjunto de 2022 números primos distintos e S o conjunto dos números naturais que admitem apenas esses primos em sua fatoração. Qual a maior quantidade de elemento que podemos escolher de S de modo que o produto de quaisquer dois deles NÃO seja um quadrado perfeito?
a) 2022
b) 2023
c) 2^2021
d) 2^2022
e) 2022^2022
Olimpíadas ⇒ Fatoração e quadrados perfeitos Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2024
20
09:25
Re: Fatoração e quadrados perfeitos
Considere [tex3]2[/tex3]
[tex3]m=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\ldots p_{2022}^{\alpha_{2022}}[/tex3] .
[tex3]n=p_1^{\beta_1}\cdot p_2^{\beta_2}\ldots p_{2022}^{\beta_{2022}}[/tex3] .
Logo,
[tex3]mn=p_1^{\alpha_1+\beta_1}\cdot p_2^{\alpha_2+\beta_2}\ldots p_{2022}^{\alpha_{2022}+\beta_{2022}}[/tex3]
Para que o produto não seja quadrado perfeito é necessário que para algum [tex3]i\leq 2022,~i\in \mathbb{N}[/tex3] seja válido que [tex3]\alpha_i[/tex3] e [tex3]\beta_i[/tex3] apresentam paridade distintas.
Como a paridade das potência dos números em [tex3]S[/tex3] na fatoração em primos pode ser escolhida de [tex3]2^{2022}[/tex3] formas diferentes, [tex3]S[/tex3] tem no máximo [tex3]2^{2022}[/tex3] elementos.
Item d
elementos de [tex3]S[/tex3]
:[tex3]m=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\ldots p_{2022}^{\alpha_{2022}}[/tex3] .
[tex3]n=p_1^{\beta_1}\cdot p_2^{\beta_2}\ldots p_{2022}^{\beta_{2022}}[/tex3] .
Logo,
[tex3]mn=p_1^{\alpha_1+\beta_1}\cdot p_2^{\alpha_2+\beta_2}\ldots p_{2022}^{\alpha_{2022}+\beta_{2022}}[/tex3]
Para que o produto não seja quadrado perfeito é necessário que para algum [tex3]i\leq 2022,~i\in \mathbb{N}[/tex3] seja válido que [tex3]\alpha_i[/tex3] e [tex3]\beta_i[/tex3] apresentam paridade distintas.
Como a paridade das potência dos números em [tex3]S[/tex3] na fatoração em primos pode ser escolhida de [tex3]2^{2022}[/tex3] formas diferentes, [tex3]S[/tex3] tem no máximo [tex3]2^{2022}[/tex3] elementos.
Item d
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Fev 2024
20
09:53
Re: Fatoração e quadrados perfeitos
Kakashi, pode acontecer de [tex3]\alpha_i=\beta_i=0[/tex3]
, certo?
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Fev 2024
20
10:45
Re: Fatoração e quadrados perfeitos
Sim, conta como paridade par.
Editado pela última vez por Kakashi em 20 Fev 2024, 11:14, em um total de 1 vez.
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