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Quadriláteros
Enviado: 10 Fev 2018, 23:12
por WagnerMachado
[tex3]ABCD[/tex3]
é um quadrado cujas diagonais cortam-se no ponto I. Constrói-se exteriormente um triângulo equilátero [tex3]ABM[/tex3]
. Calcule o ângulo [tex3]\angle AIJ [/tex3]
sabendo que [tex3]J[/tex3]
é o ponto médio do lado [tex3]\overline{AM}[/tex3]
.
- KKKK.png (24.93 KiB) Exibido 1353 vezes
Re: Quadriláteros
Enviado: 10 Fev 2018, 23:27
por jvmago
Quer o angulo [tex3]alfa[/tex3]
?
Re: Quadriláteros
Enviado: 10 Fev 2018, 23:36
por WagnerMachado
jvmago escreveu: ↑10 Fev 2018, 23:27
Quer o angulo [tex3]alfa[/tex3]
?
Figura corrigida, desculpe.
Re: Quadriláteros
Enviado: 11 Fev 2018, 00:48
por Auto Excluído (ID:12031)
[tex3]\angle IAJ + \angle IBJ =180[/tex3]
então o quadrilátero [tex3]AIBJ[/tex3]
é cíclico e então [tex3]\angle AIJ = \angle ABJ = 30 ^{\circ}[/tex3]
Re: Quadriláteros
Enviado: 11 Fev 2018, 00:51
por jvmago
Como os [tex3]\Delta DBM[/tex3]
e [tex3]\Delta DIB[/tex3]
são isósceles, entao a bissetriz [tex3]MI[/tex3]
, que também é mediana, é comum aos dois [tex3]\Delta [/tex3]
.
Chame de [tex3]O[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
os pontos médios dos lados [tex3]DB[/tex3]
e [tex3]DM[/tex3]
, respectivamente, e trace o segmento [tex3]ON[/tex3]
.
Note no [tex3]\Delta IDO[/tex3]
que [tex3]IO=DO[/tex3]
agora olhe no [tex3]\Delta DNO[/tex3]
, que é equilátero, e percebemos algo muito interessante [tex3]DO[/tex3]
é comum aos dois [tex3]\Delta IDO[/tex3]
e [tex3]\Delta DNO[/tex3]
então, o [tex3]\Delta INO[/tex3]
é isósceles de base [tex3]IN[/tex3]
. Por ultimo, trace a reta [tex3]IN[/tex3]
e teremos o seguinte:
[tex3]DÎ N=\alpha =JÎB[/tex3]
[tex3]OÎN=INO=OÎJ=OJI=a[/tex3]
isto é decorrência do [tex3]\Delta INO[/tex3]
que é simétrico ao [tex3]\Delta IOJ[/tex3]
.
No [tex3]\Delta ION[/tex3]
os angulos das bases [tex3]2a=180-150\rightarrow a=15º[/tex3]
Finalmente, no [tex3]\Delta DIB[/tex3]
[tex3]2a+2\alpha =90\rightarrow 2\alpha =60\rightarrow \alpha =30º[/tex3]
Re: Quadriláteros
Enviado: 11 Fev 2018, 01:01
por WagnerMachado
sousóeu escreveu: ↑11 Fev 2018, 00:48
[tex3]\angle IAJ + \angle IBJ =180[/tex3]
então o quadrilátero [tex3]AIBJ[/tex3]
é cíclico e então [tex3]\angle AIJ = \angle ABJ = 30 ^{\circ}[/tex3]
Quadrilátero cíclico?
Re: Quadriláteros
Enviado: 11 Fev 2018, 01:03
por WagnerMachado
jvmago escreveu: ↑11 Fev 2018, 00:51
Como os [tex3]\Delta DBM[/tex3]
e [tex3]\Delta DIB[/tex3]
são isósceles, entao a bissetriz [tex3]MI[/tex3]
, que também é mediana, é comum aos dois [tex3]\Delta [/tex3]
.
Chame de [tex3]O[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
os pontos médios dos lados [tex3]DB[/tex3]
e [tex3]DM[/tex3]
, respectivamente, e trace o segmento [tex3]ON[/tex3]
.
Note no [tex3]\Delta IDO[/tex3]
que [tex3]IO=DO[/tex3]
agora olhe no [tex3]\Delta DNO[/tex3]
, que é equilátero, e percebemos algo muito interessante [tex3]DO[/tex3]
é comum aos dois [tex3]\Delta IDO[/tex3]
e [tex3]\Delta DNO[/tex3]
então, o [tex3]\Delta INO[/tex3]
é isósceles de base [tex3]IN[/tex3]
. Por ultimo, trace a reta [tex3]IN[/tex3]
e teremos o seguinte:
[tex3]DÎ N=\alpha =JÎB[/tex3]
[tex3]OÎN=INO=OÎJ=OJI=a[/tex3]
isto é decorrência do [tex3]\Delta INO[/tex3]
que é simétrico ao [tex3]\Delta IOJ[/tex3]
.
No [tex3]\Delta ION[/tex3]
os angulos das bases [tex3]2a=180-150\rightarrow a=15º[/tex3]
Finalmente, no [tex3]\Delta DIB[/tex3]
[tex3]2a+2\alpha =90\rightarrow 2\alpha =60\rightarrow \alpha =30º[/tex3]
[tex3]\Delta DIB[/tex3]
?
Re: Quadriláteros
Enviado: 11 Fev 2018, 01:06
por Auto Excluído (ID:12031)
sim, o quadrilátero AIBJ pode ser inscrito em uma circunferência. E numa circunferência ângulos que enxergam o mesmo arco são iguais.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadril%C ... C3%ADclico
Re: Quadriláteros
Enviado: 11 Fev 2018, 02:03
por WagnerMachado
sousóeu escreveu: ↑11 Fev 2018, 00:48
[tex3]\angle IAJ + \angle IBJ =180[/tex3]
então o quadrilátero [tex3]AIBJ[/tex3]
é cíclico e então [tex3]\angle AIJ = \angle ABJ = 30 ^{\circ}[/tex3]
Esboçando sua resolução para quem tiver interesse na questão:
- kkkkkkk.png (41.2 KiB) Exibido 1327 vezes
Re: Quadriláteros
Enviado: 11 Fev 2018, 14:19
por jvmago
WagnerMachado escreveu: ↑11 Fev 2018, 01:03
jvmago escreveu: ↑11 Fev 2018, 00:51
Como os [tex3]\Delta DBM[/tex3]
e [tex3]\Delta DIB[/tex3]
são isósceles, entao a bissetriz [tex3]MI[/tex3]
, que também é mediana, é comum aos dois [tex3]\Delta [/tex3]
.
Chame de [tex3]O[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
os pontos médios dos lados [tex3]DB[/tex3]
e [tex3]DM[/tex3]
, respectivamente, e trace o segmento [tex3]ON[/tex3]
.
Note no [tex3]\Delta IDO[/tex3]
que [tex3]IO=DO[/tex3]
agora olhe no [tex3]\Delta DNO[/tex3]
, que é equilátero, e percebemos algo muito interessante [tex3]DO[/tex3]
é comum aos dois [tex3]\Delta IDO[/tex3]
e [tex3]\Delta DNO[/tex3]
então, o [tex3]\Delta INO[/tex3]
é isósceles de base [tex3]IN[/tex3]
. Por ultimo, trace a reta [tex3]IN[/tex3]
e teremos o seguinte:
[tex3]DÎ N=\alpha =JÎB[/tex3]
[tex3]OÎN=INO=OÎJ=OJI=a[/tex3]
isto é decorrência do [tex3]\Delta INO[/tex3]
que é simétrico ao [tex3]\Delta IOJ[/tex3]
.
No [tex3]\Delta ION[/tex3]
os angulos das bases [tex3]2a=180-150\rightarrow a=15º[/tex3]
Finalmente, no [tex3]\Delta DIB[/tex3]
[tex3]2a+2\alpha =90\rightarrow 2\alpha =60\rightarrow \alpha =30º[/tex3]
[tex3]\Delta DIB[/tex3]
?
- geogebra-export (1).png (62.69 KiB) Exibido 1305 vezes
Mais uma maneira