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Determine a solução da equação

$arccotg\left(\frac{x+2}{x^{2}-4}\right)+arccotg\left(\frac{x-1}{x^{2}-2x+1}\right)=arctg\left(\frac{4}{3}\right)~~x\in \mathbb{R}$

Olá, Will.

Seja:

$\cot^{-1} \left(\frac{x+2}{x^{2}-4}\right)=\alpha$

$\cot^{-1} \left(\frac{x-1}{x^{2}-2x+1}\right)=\beta$

$\tan^{-1}\frac{4}{3}=\theta$

Então,

$\tan \alpha=\frac{x^2-4}{x+2}=x-2$

$\tan \beta=\frac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1$

$\alpha+\beta=\theta$

Logo,

$\tan (\alpha +\beta)=\tan \theta$

$\frac{\tan \alpha +\tan \beta}{1-\tan \alpha\cdot \tan \beta}=\tan \theta$

$\frac{x-2+x-1}{1-(x-1)(x-2)}=\frac{4}{3}$

$4x^2-6x-5=0$

$x=\frac{3\pm\sqrt{29}}{4}$

Espero ter ajudado, abraço.

Nélio, apenas uma das soluções é válida.

WolframAlpha

Um colega, do fórum pir2, acha que é o seguinte:

"Penso ser o seguinte:

A 2ª solução tem raiz negativa x' < 0

Neste caso as duas tangentes seriam negativas (arcos do 2º quadrante, por exemplo)

A soma dos dois arcos poderia ser um arco do 4º quadrante, também com tangente negativa. Acontece que a tangente da soma dos dois arcos é positiva (4/3) e isto criaria uma contradição."

Abraços,
Pedro

Caro, PedroCunha.

Concordo com você. Na verdade, quando achei as duas soluções, vi que ele diz claramente "solução", então estava pensando em usar as restrições da função inversa. Porém, esse pensamento é muito bom.

Obrigado.

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(IME CG - 2007) Trigonometria

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