Demonstração - Teorema de Lamy
Enviado: 13 Abr 2020, 19:01
Na Estática, o Teorema de Lamy é uma equação que relaciona a intensidade de três forças, coplanares, concorrentes e não colineares, que fazem com que um corpo permaneça em equilíbrio, com os ângulos diretamente opostos às forças correspondentes.
Bernard Lamy foi um matemático e teólogo francês e membro da Congregação do Oratório. Veja mais sobre ele aqui.
Demonstre que 3 forças concorrentes que mantém um ponto [tex3]\text P[/tex3] em equilíbrio podem ser relacionadas por:
Podemos montar o seguinte sistemas de forças atuantes sobre um ponto [tex3]\text P[/tex3] :
Ademais, podemos rearranjar os vetores e obter um triângulo de forças ou Triângulo de Simon Stevin (o mesmo da hidrostática). Desse modo, obtemos que:
Diante disso, podemos aplicar a Lei dos Senos:
No entanto, da trigonometria, sabemos que [tex3]\sen \(180 \degree - x \) = \sen \( x\).[/tex3] Então, ficamos com:
Portanto, fica demonstrado que, se três forças atuam em um ponto e mantém esse ponto em equilíbrio, então as relações que obtemos são válidas. Alguns exercícios resolvidos com esse teorema:
viewtopic.php?f=15&t=80235
viewtopic.php?f=15&t=80181
viewtopic.php?f=41&t=65007
viewtopic.php?f=9&t=80591
[1]. A relação é válida para um corpo sob ação exclusiva de três forças concorrentes que o mantém em equilíbrio.
Bernard Lamy foi um matemático e teólogo francês e membro da Congregação do Oratório. Veja mais sobre ele aqui.
Hipótese
Demonstre que 3 forças concorrentes que mantém um ponto [tex3]\text P[/tex3] em equilíbrio podem ser relacionadas por:
[tex3]{\color{NavyBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\frac{\vec{v}}{\sen \alpha} = \frac{\vec u}{\sen \beta } = \frac{\vec w}{\sen \gamma}}_{_{{⠀}_{⠀}}}^{{⠀}^{⠀}} }}[/tex3]
Demonstração
Podemos montar o seguinte sistemas de forças atuantes sobre um ponto [tex3]\text P[/tex3] :
- 9EE81C97-F14C-4D9E-BE01-4D3C9648235E.png (18.84 KiB) Exibido 5473 vezes
Ademais, podemos rearranjar os vetores e obter um triângulo de forças ou Triângulo de Simon Stevin (o mesmo da hidrostática). Desse modo, obtemos que:
- 9C3EF47A-0DF1-4E3E-981B-4A38280875F3.png (20.41 KiB) Exibido 5473 vezes
Diante disso, podemos aplicar a Lei dos Senos:
[tex3]\frac{\vec v }{\sen \( 180 \degree - \alpha\)} = \frac{\vec u}{\sen\( 180 \degree - \beta \)}=\frac{\vec w}{\sen \( 180\degree -\gamma\)}[/tex3]
No entanto, da trigonometria, sabemos que [tex3]\sen \(180 \degree - x \) = \sen \( x\).[/tex3] Então, ficamos com:
[tex3]{\color{black} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\frac{\vec{v}}{\sen \alpha} = \frac{\vec u}{\sen \beta } = \frac{\vec w}{\sen \gamma}}_{_{{⠀}_{⠀}}}^{{⠀}^{⠀}} }}[/tex3]
Portanto, fica demonstrado que, se três forças atuam em um ponto e mantém esse ponto em equilíbrio, então as relações que obtemos são válidas. Alguns exercícios resolvidos com esse teorema:
viewtopic.php?f=15&t=80235
viewtopic.php?f=15&t=80181
viewtopic.php?f=41&t=65007
viewtopic.php?f=9&t=80591
[1]. A relação é válida para um corpo sob ação exclusiva de três forças concorrentes que o mantém em equilíbrio.