Resposta
-[tex3]-\frac{42}{59}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica / Vetorial Tópico resolvido
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ASPIRANTE23
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Mai 2024
09
15:53
Geometria Analítica / Vetorial
Sejam as retas no [tex3]\mathbb{R}^3\,\, r_1: (x, y, z) = (2, 6, −3) + \mu(1, −3, 0) [/tex3]
e [tex3]r_2: (1, 2, −4) + \beta(1, 4, 1)[/tex3]
, sendo [tex3]\beta[/tex3]
e [tex3]𝝁 \in\mathbb{R}[/tex3]
. O plano 𝜋 é formado por essas duas retas. A soma das coordenadas do simétrico do ponto[tex3] A(1, 2, −3)[/tex3]
em relação ao plano [tex3]\pi[/tex3]
é:
-[tex3]-\frac{42}{59}[/tex3]
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Editado pela última vez por caju em 10 Mai 2024, 08:36, em um total de 2 vezes.
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παθμ
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Mai 2024
09
19:34
Re: Geometria Analítica / Vetorial
ASPIRANTE23,
[tex3]r_1:(2+\alpha,6-3\alpha,-3), \; \; r_2:(1+\beta,2+4\beta,-4+\beta).[/tex3] O plano π deve conter essas duas retas, seja [tex3]z=ax+by+c[/tex3] sua equação:
Plugando as coordenadas de um ponto da reta r1: [tex3]-3=a(2+\alpha)+b(6-3\alpha)+c \Longrightarrow (3b-a) \alpha = 2a+6b+c+3.[/tex3]
Para que isso seja válido para todo [tex3]\alpha,[/tex3] a equação deve ser [tex3]0 \alpha=0.[/tex3] Ou seja:
[tex3]3b-a=0 \Longrightarrow a=3b[/tex3] (1).
[tex3]2a+6b+c+3=0 \Longrightarrow c=-3-4a[/tex3] (2).
Fazendo a mesma coisa com a reta r2, obtemos [tex3](a+4b-1)\beta = -4-a-2b-c.[/tex3] Daí:
[tex3]a+4b-1=0 \Longrightarrow 7b-1=0 \Longrightarrow b=\frac{1}{7}, \; \; a=3b=\frac{3}{7}, \; \; c=-3-4a=-\frac{33}{7}.[/tex3]
Então a equação do plano π é [tex3]z=\frac{3}{7}x+\frac{1}{7}y-\frac{33}{7} \Longrightarrow 3x+y-7z-33=0.[/tex3]
A reta normal a esse plano que passa pelo ponto A é [tex3]n:(1,2,-3)+t(3,1,-7).[/tex3]
Achando o valor de t, chame-o de [tex3]t_0,[/tex3] para o qual a reta toca o plano:
[tex3]3(1+3t_0)+2+t_0+7(3+7t_0)-33=0 \Longrightarrow t_0=\frac{7}{59}.[/tex3]
Então o simétrico de A é [tex3](1,2,-3)+2t_0(3,1,-7)=(1,2,-3)+\frac{14}{59}(3,1,-7).[/tex3]
A soma de suas coordenadas é [tex3]1+2-3+\frac{14}{59}(3+1-7)=\boxed{-\frac{42}{59}}[/tex3]
[tex3]r_1:(2+\alpha,6-3\alpha,-3), \; \; r_2:(1+\beta,2+4\beta,-4+\beta).[/tex3] O plano π deve conter essas duas retas, seja [tex3]z=ax+by+c[/tex3] sua equação:
Plugando as coordenadas de um ponto da reta r1: [tex3]-3=a(2+\alpha)+b(6-3\alpha)+c \Longrightarrow (3b-a) \alpha = 2a+6b+c+3.[/tex3]
Para que isso seja válido para todo [tex3]\alpha,[/tex3] a equação deve ser [tex3]0 \alpha=0.[/tex3] Ou seja:
[tex3]3b-a=0 \Longrightarrow a=3b[/tex3] (1).
[tex3]2a+6b+c+3=0 \Longrightarrow c=-3-4a[/tex3] (2).
Fazendo a mesma coisa com a reta r2, obtemos [tex3](a+4b-1)\beta = -4-a-2b-c.[/tex3] Daí:
[tex3]a+4b-1=0 \Longrightarrow 7b-1=0 \Longrightarrow b=\frac{1}{7}, \; \; a=3b=\frac{3}{7}, \; \; c=-3-4a=-\frac{33}{7}.[/tex3]
Então a equação do plano π é [tex3]z=\frac{3}{7}x+\frac{1}{7}y-\frac{33}{7} \Longrightarrow 3x+y-7z-33=0.[/tex3]
A reta normal a esse plano que passa pelo ponto A é [tex3]n:(1,2,-3)+t(3,1,-7).[/tex3]
Achando o valor de t, chame-o de [tex3]t_0,[/tex3] para o qual a reta toca o plano:
[tex3]3(1+3t_0)+2+t_0+7(3+7t_0)-33=0 \Longrightarrow t_0=\frac{7}{59}.[/tex3]
Então o simétrico de A é [tex3](1,2,-3)+2t_0(3,1,-7)=(1,2,-3)+\frac{14}{59}(3,1,-7).[/tex3]
A soma de suas coordenadas é [tex3]1+2-3+\frac{14}{59}(3+1-7)=\boxed{-\frac{42}{59}}[/tex3]
Editado pela última vez por παθμ em 10 Mai 2024, 10:00, em um total de 1 vez.
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