IME/ITA ⇒ (AMAN - 2005) Mecânica Tópico resolvido

[ALDRIN]

Um pequeno balde contendo água é preso a um leve e inextensível fio de comprimento [tex3]L[/tex3]

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[tex3]L[/tex3]

tal que [tex3]L= 0,50\text{ m}[/tex3]

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[tex3]L= 0,50\text{ m}[/tex3]

sendo afixado a uma altura [tex3](H)[/tex3]

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[tex3](H)[/tex3]

de [tex3]1,0\text{ m}[/tex3]

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[tex3]1,0\text{ m}[/tex3]

do solo [tex3](S)[/tex3]

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[tex3](S)[/tex3]

como mostra a figura. À medida que o balde gira numa circunferência horizontal com velocidade constante, gotas de água que dele vazam atingem o solo formando um círculo raio [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

. Considerando [tex3]10\text{ m/s^2}[/tex3]

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[tex3]10\text{ m/s^2}[/tex3]

o módulo da aceleração devida à gravidade e [tex3]\theta=60^\circ[/tex3]

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[tex3]\theta=60^\circ[/tex3]

, o valor de [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

será, em metros:

figura.GIF (4.67 KiB) Exibido 3358 vezes

(A) [tex3]\frac{\sqrt{17}}{5}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{17}}{5}[/tex3]

.
(B) [tex3]\frac{\sqrt{11}}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{11}}{4}[/tex3]

.
(C) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

.
(D) [tex3]\frac{\sqrt{21}}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{21}}{4}[/tex3]

.
(E) [tex3]\frac{4}{5}[/tex3]

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[tex3]\frac{4}{5}[/tex3]

.

[Thales Gheós]

trok,2.GIF (5.25 KiB) Exibido 3346 vezes

A figura mostra a trajetória de uma gota num plano perpendicular ao raio [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

da trajetória do balde. Sendo [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

a distância horizontal percorrida, teremos [tex3]R=\sqrt{x^2+r^2}[/tex3]

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[tex3]R=\sqrt{x^2+r^2}[/tex3]

Calculando [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

:

[tex3]r=L.sen\theta\\r=\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]

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[tex3]r=L.sen\theta\\r=\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]

o tempo de queda das gotas é [tex3]t=\sqrt{\frac{2.0,75}{10}}\right\frac{\sqrt{15}}{10}s[/tex3]

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[tex3]t=\sqrt{\frac{2.0,75}{10}}\right\frac{\sqrt{15}}{10}s[/tex3]

a distância horizontal percorrida é [tex3]x=\frac{v\sqrt{15}}{10}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{v\sqrt{15}}{10}[/tex3]

precisamos agora conhecer a velocidade tangencial do movimento circular (velocidade horizontal das gotas):

trok_gif.GIF (1.52 KiB) Exibido 3344 vezes

[tex3]tan\theta=\frac{\frac{mv^2}{r}}{mg}\\v=\sqrt{rgtan\theta}\right v=\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot10\cdot\sqrt{3}}\right v=\sqrt{\frac{15}{2}}m/s[/tex3]

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[tex3]tan\theta=\frac{\frac{mv^2}{r}}{mg}\\v=\sqrt{rgtan\theta}\right v=\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot10\cdot\sqrt{3}}\right v=\sqrt{\frac{15}{2}}m/s[/tex3]

[tex3]x=\frac{15\sqrt{2}}{20}m[/tex3]

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[tex3]x=\frac{15\sqrt{2}}{20}m[/tex3]

[tex3]R=\sqrt{\frac{3}{16}+\frac{15^2.2}{20^2}}\right\boxed{R=\frac{\sqrt{21}}{4}m}[/tex3]

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[tex3]R=\sqrt{\frac{3}{16}+\frac{15^2.2}{20^2}}\right\boxed{R=\frac{\sqrt{21}}{4}m}[/tex3]