Pré-Vestibular ⇒ (UEM 2012) Semelhança de Triângulos e Lei dos Cossenos Tópico resolvido

[Bela645]

Sejam [tex3]A,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A,[/tex3]

[tex3]B[/tex3]

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[tex3]B[/tex3]

e [tex3]C[/tex3]

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[tex3]C[/tex3]

os vértices de um triângulo retângulo, sendo [tex3]\hat A[/tex3]

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[tex3]\hat A[/tex3]

o ângulo reto e [tex3]AC[/tex3]

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[tex3]AC[/tex3]

medindo o triplo de [tex3]AB.[/tex3]

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[tex3]AB.[/tex3]

Considerando agora os pontos [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

e [tex3]E[/tex3]

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[tex3]E[/tex3]

no segmento [tex3]AC,[/tex3]

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[tex3]AC,[/tex3]

de modo que [tex3]AD = DE = EC,[/tex3]

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[tex3]AD = DE = EC,[/tex3]

e [tex3]F[/tex3]

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[tex3]F[/tex3]

sendo o ponto médio do segmento [tex3]BC,[/tex3]

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[tex3]BC,[/tex3]

julgue os itens.

1) [tex3]\cos B = \frac{\sqrt{10}}{10}.[/tex3]

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[tex3]\cos B = \frac{\sqrt{10}}{10}.[/tex3]

2) os triângulos [tex3]BDC[/tex3]

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[tex3]BDC[/tex3]

e [tex3]FEC[/tex3]

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[tex3]FEC[/tex3]

são congruentes.
3) [tex3]\sen(B\hat DC)= \frac{\sqrt{2}}{2}.[/tex3]

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[tex3]\sen(B\hat DC)= \frac{\sqrt{2}}{2}.[/tex3]

4) Os triângulos [tex3]EDF[/tex3]

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[tex3]EDF[/tex3]

e [tex3]BDF[/tex3]

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[tex3]BDF[/tex3]

são semelhantes.
5) [tex3]\cos(E\hat FC)= \frac{\sqrt{5}}{5}.[/tex3]

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[tex3]\cos(E\hat FC)= \frac{\sqrt{5}}{5}.[/tex3]

Resposta

---

Gabarito: C, E, C, E,E

[petras]

Bela645,

[tex3]\mathsf{1)BC^2=AC^2+AB^2=(3x)^2+x^2=10x^2 \\
\therefore BC = \sqrt{x}\implies cos \hat{B}=\frac{x}{\sqrt{10}x}=\boxed{\color{red}\frac{\sqrt{10}}{10}}\\
2)\text{não possuem o mesmto tamanho}\implies \text{não são congruentes}\\
3)\text{teorema dos cossenos}\Delta_{BDC}:BC^2=BD^2+DC^2-2BD.DC.cos B\hat{D}C \\
(\sqrt{10}x)^2=(x\sqrt2)^2+(2x)^2-2(x\sqrt2)^2(2x)cosB\hat{D}C\implies cosB\hat{D}C=-\frac{\sqrt2}{2}(135^o)\\
senB\hat{D}C=sen135^o=sen180^0-sen135^o=sen 45^o\therefore \boxed{\color{red}sen B\hat{D}C = \frac{\sqrt2}{2}}\\
4) \text{não possuem ângulos congruentes}\implies \text{não são semelhantes}\\
5)\text{teorema dos cossenos}\Delta_{EFC}:EC^2=EF^2+FC^2-2(EF)(FC)cos(EFC)\\
x^2=(\frac{x\sqrt2)^2}{2}+\frac{(x\sqrt10)^2}{2}-2(\frac{x\sqrt2)^2}{2})(\frac{(x\sqrt10)^2}{2})cosE\hat{F}C\implies\\
\boxed{\color{red}cosE\hat{F}C =\frac{2\sqrt5}{5}}}
[/tex3]

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[tex3]\mathsf{1)BC^2=AC^2+AB^2=(3x)^2+x^2=10x^2 \\
\therefore BC = \sqrt{x}\implies cos \hat{B}=\frac{x}{\sqrt{10}x}=\boxed{\color{red}\frac{\sqrt{10}}{10}}\\
2)\text{não possuem o mesmto tamanho}\implies \text{não são congruentes}\\
3)\text{teorema dos cossenos}\Delta_{BDC}:BC^2=BD^2+DC^2-2BD.DC.cos B\hat{D}C \\
(\sqrt{10}x)^2=(x\sqrt2)^2+(2x)^2-2(x\sqrt2)^2(2x)cosB\hat{D}C\implies cosB\hat{D}C=-\frac{\sqrt2}{2}(135^o)\\
senB\hat{D}C=sen135^o=sen180^0-sen135^o=sen 45^o\therefore \boxed{\color{red}sen B\hat{D}C = \frac{\sqrt2}{2}}\\
4) \text{não possuem ângulos congruentes}\implies \text{não são semelhantes}\\
5)\text{teorema dos cossenos}\Delta_{EFC}:EC^2=EF^2+FC^2-2(EF)(FC)cos(EFC)\\
x^2=(\frac{x\sqrt2)^2}{2}+\frac{(x\sqrt10)^2}{2}-2(\frac{x\sqrt2)^2}{2})(\frac{(x\sqrt10)^2}{2})cosE\hat{F}C\implies\\
\boxed{\color{red}cosE\hat{F}C =\frac{2\sqrt5}{5}}}
[/tex3]