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[tex3]\Delta[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Lei dos cossenos
- Alan123
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Mai 2015
31
16:05
Lei dos cossenos
No [tex3]\Delta[/tex3]
ABC, AB = 2AC = 3/2 BC = 6 m. Calcule o comprimento da projeção de AC sobre AB.
Editado pela última vez por Alan123 em 31 Mai 2015, 16:05, em um total de 1 vez.
- fabit
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Jun 2015
01
09:56
Re: Lei dos cossenos
Se fizer a figura com AB=6, AC=3 e BC=4, traçando a altura CH relativa a AB, o problema proposto acima é uma reprodução numérica da figura básica da demonstração da lei dos cossenos no caso de um ângulo agudo.
Se chamar [tex3]CH=h[/tex3] e [tex3]AH=x[/tex3] , temos [tex3]HB=6-x[/tex3] e montamos o sistema com dois Pitágoras:
[tex3]\begin{cases}4^2=h^2+(6-x)^2\\3^2=h^2+x^2\end{cases}[/tex3]
Subtraindo, [tex3]16-9=h^2+36-12x+x^2-h^2-x^2\Rightarrow7=36-12x[/tex3]
Logo [tex3]x=AH=\frac{36-7}{12}=\boxed{\frac{29}{12}}[/tex3] .
A demonstração da lei dos cossenos é só a eliminação desse x mediante trigonometria:
[tex3]\cos\hat{A}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow x=3\cos\hat{A}[/tex3] .
A solução dessa questão por lei dos cossenos é como um cachorro mordendo o rabo, ou seja, uma inversão de causalidade, mas ficaria assim:
[tex3]4^2=6^2+3^2-2\cdot6\cdot3\cdot\cos\hat{A}\Rightarrow\cos\hat{A}=\frac{36+9-16}{36}=\frac{29}{36}[/tex3]
Em seguida, [tex3]x=3\cdot\frac{29}{36}=\boxed{\frac{29}{12}}[/tex3] .
Se chamar [tex3]CH=h[/tex3] e [tex3]AH=x[/tex3] , temos [tex3]HB=6-x[/tex3] e montamos o sistema com dois Pitágoras:
[tex3]\begin{cases}4^2=h^2+(6-x)^2\\3^2=h^2+x^2\end{cases}[/tex3]
Subtraindo, [tex3]16-9=h^2+36-12x+x^2-h^2-x^2\Rightarrow7=36-12x[/tex3]
Logo [tex3]x=AH=\frac{36-7}{12}=\boxed{\frac{29}{12}}[/tex3] .
A demonstração da lei dos cossenos é só a eliminação desse x mediante trigonometria:
[tex3]\cos\hat{A}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow x=3\cos\hat{A}[/tex3] .
A solução dessa questão por lei dos cossenos é como um cachorro mordendo o rabo, ou seja, uma inversão de causalidade, mas ficaria assim:
[tex3]4^2=6^2+3^2-2\cdot6\cdot3\cdot\cos\hat{A}\Rightarrow\cos\hat{A}=\frac{36+9-16}{36}=\frac{29}{36}[/tex3]
Em seguida, [tex3]x=3\cdot\frac{29}{36}=\boxed{\frac{29}{12}}[/tex3] .
Editado pela última vez por fabit em 01 Jun 2015, 09:56, em um total de 1 vez.
SAUDAÇÕES RUBRONEGRAS HEXACAMPEÃS !!!!!!!!!!!
- Alan123
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Jun 2015
02
10:14
Re: Lei dos cossenos
A continuação da resolução eu entendi, só não entendi no começo como vc fez para achar o valor de AC e porque mudou os valores dos lados, sendo que BC = 6 e vc colocou que AB = 6 e BC = 4...
Grato.
Grato.
- fabit
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Jun 2015
02
13:33
Re: Lei dos cossenos
Eu interpretei que o trecho a seguir foi escrito sem o código LaTeX:
[tex3]AB=6[/tex3] , [tex3]2AC=6\Rightarrow AC=3[/tex3] e [tex3]\frac{3}{2}BC=6\Rightarrow BC=4[/tex3] .
É isso.
e portanto seu signifcado seria [tex3]AB=2AC=\frac{3}{2}BC=6[/tex3] , daí eu encontrei, separadamente:Alan123 escreveu:... AB = 2AC = 3/2 BC = 6 m.
[tex3]AB=6[/tex3] , [tex3]2AC=6\Rightarrow AC=3[/tex3] e [tex3]\frac{3}{2}BC=6\Rightarrow BC=4[/tex3] .
É isso.
Editado pela última vez por fabit em 02 Jun 2015, 13:33, em um total de 1 vez.
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- Alan123
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Jun 2015
03
15:09
Re: Lei dos cossenos
Sim foi escrito sem código LaTeX mesmo. É que eu não compreendi como você fez para encontrar essas medidas separadamente, ou seja, a explicação de como chegou a esses valores.
- fabit
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Jun 2015
03
15:45
Re: Lei dos cossenos
Pois então,
[tex3]AB=6[/tex3] E TAMBÉM [tex3]2AC=6[/tex3] E TAMBÉM [tex3]\frac{3BC}{2}=6[/tex3] .
Portanto [tex3]AC=\frac{6}{2}=3[/tex3] e [tex3]BC=\frac{2\times6}{3}=4[/tex3]
O resto todo ficou claro?
significa:fabit escreveu:[tex3]AB=2AC=\frac{3}{2}BC=6[/tex3]
[tex3]AB=6[/tex3] E TAMBÉM [tex3]2AC=6[/tex3] E TAMBÉM [tex3]\frac{3BC}{2}=6[/tex3] .
Portanto [tex3]AC=\frac{6}{2}=3[/tex3] e [tex3]BC=\frac{2\times6}{3}=4[/tex3]
O resto todo ficou claro?
Editado pela última vez por fabit em 03 Jun 2015, 15:45, em um total de 1 vez.
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- Alan123
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Jun 2015
05
18:46
Re: Lei dos cossenos
O resto está de boa, ficou claro sim; desculpe, mas a minha dificuldade está sendo ainda em compreender o começo; não entendi ainda porque AB é igual a 6, como chegou a isso ? e porque também 2AC é igual a 6 ? e porque mudou a medida de BC se já estava definida como 6, da forma que vc fez para dar esse outro valor a BC também não entendi.
- fabit
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Jun 2015
07
23:36
Re: Lei dos cossenos
Não é AB igual a 2 e AC igual a 3/2 e BC igual a 6!
É AB igual ao dobro de AC, que esse dobro de AC por sua vez equivale a 3/2 de BC, e que esses 3/2 de BC valem 6.
É uma cadeia de igualdades: [tex3]x=y=z=6[/tex3] significa que x=6, que y=6 e que z=6.
É AB igual ao dobro de AC, que esse dobro de AC por sua vez equivale a 3/2 de BC, e que esses 3/2 de BC valem 6.
É uma cadeia de igualdades: [tex3]x=y=z=6[/tex3] significa que x=6, que y=6 e que z=6.
Editado pela última vez por fabit em 07 Jun 2015, 23:36, em um total de 1 vez.
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