Sejam x y z números reais tais que
[tex3]x^{2}[/tex3]
+ 5xz + [tex3]z^{2}[/tex3]
= 7,
[tex3]x^{2}[/tex3]
z + [tex3]z^{2}[/tex3]
x = 2.
Se x + z [tex3]\neq[/tex3]
2, determine o valor de [tex3](6xz)^{2}[/tex3]
.
Olimpíadas ⇒ Olimpíada do Peru - 2016 - Álgebra Tópico resolvido
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Olimpíada do Peru - 2016 - Álgebra
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- jomatlove
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Abr 2017
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19:27
Re: Olimpíada do Peru - 2016 - Álgebra
Resolução:
[tex3]x^{2}z+z^{2}x=2\rightarrow xz(x+z)=2[/tex3]
[tex3]x^{2}+5xz+z^{2}=7\rightarrow (x^{2}+2xz+z^{2})+3xz=7[/tex3]
[tex3](x+z)^{2}=7-3xz[/tex3]
[tex3](xz)^{2}[/tex3][tex3](x+z)^{2}[/tex3] =([tex3]7-3xz[/tex3] )[tex3](xz)^{2}[/tex3]
[tex3][(xz)(x+z)]^{2}=7(xz)^{2}-3(xz)^{3}[/tex3]
[tex3]2^{2}=7(xz)^{2}-3(xz)^{3}[/tex3]
[tex3]3(xz)^{3}-7(xz)^{2}+4=0[/tex3]
Como [tex3]3-7+4=0[/tex3] ,então 1 é raiz.Assim obtemos as seguintes raízes:[tex3]xz=1\vee xz=2\vee xz=-\frac{1}{3}[/tex3]
Portanto temos três soluções:
1)[tex3](6xz)^{2}=(6.1)^{2}=36[/tex3]
2)[tex3](6xz)^{2}=(6.2)^{2}=12^{2}=144[/tex3]
3)[tex3](6xz)^{2}=[6(-\frac{1}{3})]^{2}=(-2)^{2}=4[/tex3]
[tex3]x^{2}z+z^{2}x=2\rightarrow xz(x+z)=2[/tex3]
[tex3]x^{2}+5xz+z^{2}=7\rightarrow (x^{2}+2xz+z^{2})+3xz=7[/tex3]
[tex3](x+z)^{2}=7-3xz[/tex3]
[tex3](xz)^{2}[/tex3][tex3](x+z)^{2}[/tex3] =([tex3]7-3xz[/tex3] )[tex3](xz)^{2}[/tex3]
[tex3][(xz)(x+z)]^{2}=7(xz)^{2}-3(xz)^{3}[/tex3]
[tex3]2^{2}=7(xz)^{2}-3(xz)^{3}[/tex3]
[tex3]3(xz)^{3}-7(xz)^{2}+4=0[/tex3]
Como [tex3]3-7+4=0[/tex3] ,então 1 é raiz.Assim obtemos as seguintes raízes:[tex3]xz=1\vee xz=2\vee xz=-\frac{1}{3}[/tex3]
Portanto temos três soluções:
1)[tex3](6xz)^{2}=(6.1)^{2}=36[/tex3]
2)[tex3](6xz)^{2}=(6.2)^{2}=12^{2}=144[/tex3]
3)[tex3](6xz)^{2}=[6(-\frac{1}{3})]^{2}=(-2)^{2}=4[/tex3]
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Imagination is more important than
knowledge(Albert Einstein)
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Re: Olimpíada do Peru - 2016 - Álgebra
Muito Obrigado jomatlove
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