Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 14 Out 2014, 22:42 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 14 Out 2014, 22:42

Seja [tex3]a_2, a_3,a_4,a_5,a_6,a_7[/tex3] valores inteiros que satisfaçam a equação: [tex3]\frac{5}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}[/tex3] . Sabendo que [tex3]0\leq a_i < i[/tex3] para i = 2,3,4,...7. Então, o valor da expressão [tex3]a_2+ a_3+a_4+a_5+a_6+a_7[/tex3] é igual a:

Resposta

9

Mensagem não lidapor **PedroCunha** » 08 Dez 2014, 18:36 · Mensagem não lida por **PedroCunha** » 08 Dez 2014, 18:36

tranquilo, multiplica tudo por 24 (4!)
$5\cdot\frac{4!}{7} = 12a_2 + 4a_3 + a_4 + \frac{42a_5 + 7a_6 + a_7}{210}$

repare ai que a parte fracionária é menor que 1, pois seu valor máximo é:

$\frac{42\cdot4 +7\cdot5+6}{210} = \frac{209}{210}<1$

a parte fracionaria do lado esquerdo:

$\frac{5\cdot 24}{7} = \frac{120}{7} = 17 + \frac{1}{7}$

basta resolver

$\begin{cases} 17=12a_2 + 4a_3 + a_4\\ \frac{1}{7} = \frac{42a_5 + 7a_6 + a_7}{210} \end{cases}$

a solução da primeira equação a gente faz meio que por tentativa, é até fácil, a resposta é:
$a_2 = 1\,\,\,\,a_3=1\,\,\,\,\,\,a_4=1$

da segunda:

$30 = 42a_5 + 7a_6 + a_7$
então
$a_5=0 \,\,\,\,\, a_6 = 4 \,\,\,\,\,\,\, a_7 = 2$

então a soma $a_2+ a_3+a_4+a_5+a_6+a_7 = 1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 3 + 6 = 9$

entendeu ?

Olimpíadas ⇒ (EUA-1999) Fatorial

(EUA-1999) Fatorial

Re: (EUA-1999) Fatorial

Re: (EUA-1999) Fatorial

Olimpíadas ⇒ (EUA-1999) Fatorial

(EUA-1999) Fatorial

Re: (EUA-1999) Fatorial

Re: (EUA-1999) Fatorial

Entrar | Registrar