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Mensagem não lidapor **Babi123** » 21 Mai 2024, 15:31 · Mensagem não lida por **Babi123** » 21 Mai 2024, 15:31

Sejam [tex3]X, Y \subset[0,+\infty)[/tex3] conjuntos não vazio e limitados superiormente. Se [tex3]XY=\{XY, x\in X \ e \ Y\in Y\}[/tex3] prove que [tex3]XY[/tex3] é limitado superiormente e que [tex3]sup XY = sup X\cdot sup Y[/tex3] e [tex3]inf XY = inf X\cdot inf Y[/tex3] .

Mensagem não lidapor **ProfLaplace** » 21 Mai 2024, 16:02

O axioma do supremo afirma que todo subconjunto não vazio limitado superiormente dos números reais admite supremo.
Seja então [tex3]A=\sup X[/tex3] e [tex3]B=\sup Y[/tex3] , onde [tex3]A,B\geq 0[/tex3] .
Temos que [tex3]x\leq A[/tex3] e [tex3]y\leq B[/tex3] , para qualquer x em X e y em Y.
Como X e Y só contém números não-negativos, podemos multiplicar as duas inequações anteriores, chegando em:
[tex3]xy\leq AB[/tex3] , o que prova que [tex3]AB[/tex3] é cota superior de [tex3]XY[/tex3] , já que os valores de x e y foram tomados arbitrariamente.
Resta provar que [tex3]AB[/tex3] é a menor cota superior possível para [tex3]XY[/tex3] .
Tome um número [tex3]M<AB[/tex3] . Precisamos provar que M não é cota superior de [tex3]XY[/tex3] .
Observe que [tex3]A=0[/tex3] implicaria [tex3]X=\{0\}[/tex3] , que implica [tex3]XY=\{0\}[/tex3] , que implica [tex3]\sup XY=0=\sup X\cdot \sup Y[/tex3] . O mesmo vale se [tex3]B=0[/tex3] . Vamos supor a partir de agora que [tex3]X\neq\{0\}[/tex3] e [tex3]Y\neq\{0\}[/tex3] , pois caso contrário a tese já estaria verificada. Isto é, trabalharemos com [tex3]A,B>0[/tex3] .
Assim, [tex3]\frac{M}{A}<B[/tex3] .
Então [tex3]\frac{M}{A}[/tex3] não é cota superior de Y, implicando que existe [tex3]y\in Y[/tex3] tal que [tex3]\frac{M}{A}<y[/tex3] .
A suposição de que [tex3]Y\neq\{0\}[/tex3] garante que podemos tomar algum [tex3]y>0[/tex3] acima.
Daí, [tex3]\frac{M}{y}<A[/tex3] , implicando que [tex3]\frac{M}{y}[/tex3] não é cota superior de X.
Disso segue que existe [tex3]x\in X[/tex3] tal que [tex3]\frac{M}{y}<x[/tex3] , isto é, [tex3]M<xy[/tex3] .
Isso comprova que M não é cota superior de XY e que, portanto, [tex3]AB=\sup XY[/tex3] .
Em outras palavras: [tex3]\sup X\cdot \sup Y=\sup XY[/tex3] .

A parte do ínfimo é análoga e deixo pra você kkk

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